Gibt es ein Kreuzprodukt in ℝ²?

Question

Wenn \(\vec{a}\times \vec{b}\) so erhält einen Vektor, der senkrecht auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht. Gibt es das auch im zweidimensionalen Raum oder eine Abwandlung? Könnte man die z-Koordinate nicht einfach durch 0 ersetzen und dann zwei zweidimensionale Vektoren kreuzen?

Answer 1

Nein, weil das Kreuzprodukt einen auf beiden beteiligten Vektoren senkrechten Vektor berechnet, d.h. der Vektor geht in die 3. Dimension.

A=(a1,a2,0)
B=(b1,b2,0)

AxB=(0, 0, (a1 * b2) - (a2 * b1))

C=(c1,c2)

R:={{0,1},{-1,0}}

C R = ((-c2), c1)

Comments

Kann man da nicht irgendwie schummeln?

wenn ich  z. B.  \(\vec{b}=\begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix}\) habe, bewege ich mich doch lediglich auf der y-Achse und der z-Achse. Wenn man das auf ein zweidimensionales Koordinatensystem ableitet, ist die y-Achse die Abzisse und die z-Achse die Ordinante.

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Ah, nevermind, ich hatte gerade einen Denkfehler. Das Kreuzprodukt von \(\vec{b}\) und \(\vec{a}\) wäre hier ja \(\begin{pmatrix} -4\\0\\0 \end{pmatrix}\)

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Wenn Du Dich in der yz-Ebene bewegst, dann weist der Ergebinsvektor in die x-Richtung...

Auf was willst Du hinaus?

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Ja, habe es gerade selbst gemerkt. War ein Denkfehler.