Weiss jemand wie ich auf eine explizite Definition von xn komme?

Question

           Seien a und b zwei reelle Zahlen. Wir definieren eine Folge (x_n) rekursiv durch:

Weiss jemand wie ich auf eine explizite Definition von xn komme?

EDIT: "Explizit" ergänzt.

Answer 1

Was willst du WIRKLICH? Möglicherweise die explizite Bildungsvorschrift?

Dann stelle doch mal die Folgenglieder x_0 bis x_5 konkret auf (In Form von Brüchen, nicht als Dezimalzahl). Ich würde mich wundern, wenn dir die Bildungsvorschrift nicht in Auge springt.

Comments

Die Bildungsvorschrift fällt mir immer noch nicht ins Auge....

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Aufgabe hat sich geklärt!!

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x_n = ((-2)ⁿ -1 ) / 3  falls n gerade  und

x_n = ((-2)ⁿ -1 ) / (-3)  falls n ungerade

Also irgendwie ist das jetzt peinlich. Der Fragesteller hat signalisiert, dass er es inzwischen lösen konnte - und du schickst zur Verwirrung noch eine falsche Antwort nach.

Brauchst du die Punkte so ?

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Habt ihr trotzdem vielleicht eine zum Vergleich brauchbare Lösung da ;)

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Ich probier es mal neu:

(Habe da jetzt auch ne Zeitlang dran rumgemacht,

deshalb prüf mal in Ruhe ob es stimmt:

Für ungerades n

x_n = ( ( 2^(n-1) - 1)/3 ) * a   +   ( ( 2^n  + 1 ) / 3)  * b )   )    / 2^(n-1)

Für gerades n:

xn = ( ( 2^(n-1) + 1)/3 ) * a   +   ( ( 2^n  - 1 ) / 3)  * b )   )    / 2^(n-1)  

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Okay !

hatte ich genauso;)

Answer 2

über den Ansatz \( x_n = \lambda^n \) erhält man

\( 2 \lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \)

beziehungsweise

\( \lambda^2 - \frac{1}{2} \lambda - \frac{1}{2} = 0 \).

Die Lösungen dieser Gleichung sind

\( \lambda_{1, 2} = \frac{1}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1} \)

\( = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} \).

Eine allgemeine Lösung ergibt sich aus der Summe

\( x_{n} = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n \).

Die Anfangsbedingungen \( x_0 = a \) und \( x_1 = b \) legen über

\( a = c_1 + c_2 \),

\( b = c_1 \lambda_1 + c_2 \lambda_2 \)

die Koeffizienten \( c_1 \) und \( c_2 \) dieser allgemeinen Lösung fest.

Der Ansatz zur Lösung stammt von https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung#L%C3%B6sungstheorie_homogener_linearer_Differenzengleichungen_2._Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten.

Mister