Hallo :)
Seien \(n\in \mathbb{N}, \mathbb{K} \text{ ein Körper und } A\in \mathbb{K}^{n\times n} \).
Es geht in der folgenden Aufgabe darum, für \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \), zu testen, ob das angegebene charakteristische Polynom zu einer diagonalisierbaren Matrix gehört, jedoch ist über \(n\in \mathbb{N} \), also die Dimension vom zugehörigen Vektorraum, keine Aussage gemacht wurden, auch die Matrix A ist nicht angegeben, so das man dort das \(n\in \mathbb{N} \) ablesen könnte.
Es geht um folgendes charakteristische Polynom:
\( \chi_{A}(\lambda)=\lambda^{2}+2\lambda-3=(\lambda-1)(\lambda+3) \)
Also gibt es zwei paarweise verschiedene Eigenwerte, was ich einfach erst mal zur Kenntnis genommen habe, aber allein dadurch kann ich ja noch nicht sagen, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
In der Musterlösung ist einfach notiert: Da \( \deg{( \lambda^{2}+2\lambda-3 )}=2 \) folgt n=2.
Dann wäre A natürlich diagonalisierbar.
Meine Frage ist nun, wie man vom Grad des charakteristische Polynom zur Dimension von \( \mathbb{K}^{n} \) kommt?
