Gleichung der Kostenfunktion als ganzrationale Funktion 3 grades bestimmen

Question

Ich solle die  Gleichung der Kostenfunktion als ganzrationale Funktion 3 Grades  bestimmen

In der Aufgabe steht das der Bauer Fixkosten in Höhe von 100 Euro hat,wenn er 10 Kisten Salatgurken pro Tag liefert,dann hat er tägliche Gesamtkosten in Höhe von 250 Euro. Bei täglich 30 Kisten 600 Euro Kosten.Bei einer Produktionsmenge von 10 Kisten Salatgurken pro Tag  liegt die geringste Kostensteigerung vor.

 kann mir jemand das Gleichungsverfahren aufschreiben und nochmal den Weg erklären?

Zur Probe: Es soll k(x)=1/120x^3-1/4x^2+50/3x+100 herauskommen

Answer 1

K(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

In der Aufgabe steht das der Bauer Fixkosten in Höhe von 100 Euro hat,

K(0) = 100
d = 100

wenn er 10 Kisten Salatgurken pro Tag liefert, dann hat er tägliche Gesamtkosten in Höhe von 250 Euro.

K(10) = 250
1000·a + 100·b + 10·c + d = 250

Bei täglich 30 Kisten 600 Euro Kosten.

K(30) = 600
27000·a + 900·b + 30·c + d = 600

Bei einer Produktionsmenge von 10 Kisten Salatgurken pro Tag  liegt die geringste Kostensteigerung vor.

K''(10) = 0
60·a + 2·b = 0

Das lineare Gleichungssystem liefert die Lösung

a = 1/120 ∧ b = - 1/4 ∧ c = 50/3 ∧ d = 100

Damit lautet die Funktion

K(x) = 1/120·x^3 - 1/4·x^2 + 50/3·x + 100

Comments

wäre schön, wenn es ausführlicher beschrieben ist.
denn so müsste man diese Frage nicht nochmal stellen.

warum 60 a + 2 b ... woher nimmt man die 2 ? woher kommen die 60 ??
warum die 2. ableitung

lin. gleichungssystem wäre ebenfalls das sahnebonbon.

und wenn d doch 100 ist, wieso steht die oben anstelle von b ?

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K(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

Was ist K''(x) und was ist demzufolge K''(10) ?

K(x) sind die Kosten.

K'(x) sind die Grenzkosten oder die Kostensteigerung.

Minimale Kostensteigerung ist also ein Minimum der Ableitung. Die notwendige Bedingung für ein Minimum ist das die Ableitung 0 ist. Also muss hier die Ableitung der Ableitung bzw. die zweite Ableitung Null sein.

Und wenn du Schwierigkeiten bei linearen Gleichungssystemen hast dann empfehle ich dir gesondert auf dieser Seite ein paar Beispiele durchzurechnen. Bei solchen Komplexaufgaben sollte man die Grundlagen schon verstanden haben. Ansonsten muss man die Grundlagen nachlernen.

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schon mal vielen Dank.

Werd ich machen. PS. WElche Grundlagen sind das denn im Detail ?

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Lösen Linearer Gleichungssysteme.

Die Kenntnis über Ableitungen und deren Bedeutung auf Extrempunkte, Wendepunkte. Auch die Grundlagen des Fachvokabulars sollte man kennen "geringste Kostensteigerung".

Evtl kann auch mal gefragt werden bei welcher Produktionsmenge die variablen Stückkosten minimal werden. Dann gehört das zum Fachvokabular das man kennen darf. Allerdings kann man sich ja auch mit ein wenig Verständnis selber herleiten was es wohl bedeuten kann.

Answer 2

So wild ist das mit dem lin. Gl.syst. doch nicht:

Die 4 Gleichungen sind ja:

d = 100
1000·a + 100·b + 10·c + d = 250

27000·a + 900·b + 30·c + d = 600
60·a + 2·b = 0

Da du das d ja schon hast, setzt du es überall ein und hast dann nur noch 3 Gleichungen

1000·a + 100·b + 10·c + 100 = 250
27000·a + 900·b + 30·c + 100 = 600
60·a + 2·b = 0

vereinfachen
1000·a + 100·b + 10·c    = 150
27000·a + 900·b + 30·c  = 500
60·a + 2·b = 0    Das kannst du leicht nach b auflösen b= -30a
und in die ersten beiden einsetzen, dann hast nur noch 2 Gleichungen

1000·a -3000a + 10·c    = 150
27000·a  - 27000a + 30·c  = 500
wieder vereinfachen

 -2000a + 10·c    = 150
                   30·c  = 500     also c = 500/30  =  50/3  in die andere einsetzen

-2000 a  +  500/3 = 150
- 2000a = -50/3
         a = 1/120           Jetzt hast du also a, c und d und das b bekommst du aus b= -30a
                              b = -30 * 1 /120 = -1 / 4