Exponentialgleichung 0,5^{x} - 2^{2} = 2 * 0,5^{-x-4}

Question

Aufgabe: Exponentialgleichung

\( 0,5^{x} \) - \( 2^{2} \) = 2*\( 0,5^{-x-4} \)

Problem/Ansatz:

Lösung ist -3.

Answer 1

0,5^x - 4= 2·0,5^-x·0,5^-4 substituiere 0,5^x=u  und 0,5^-x=1/u

u - 4= 2·1/u·16

u²-4u = 32

u²- 4u - 32=0

(u-8)·(u+4)=0

u=8 oder u=-4

0,5^x=8 oder 0,5^x=-4

0,5^x=0,5^-3 zweite Lösung entfällt

x=-3

Comments

Wie kommen sie von

u - 4 = 2*1/u*16 auf \( u^{2} \) - 4u = 32  ?

---

u - 4 = 2*1/u*16   |2·16=32

u - 4 = 32/u         | ·u

u² - 4u = 32 

---

Noch eine Frage...

ursprünglich lautete die Aufgabe ja

\( 0,5^{x} \) - 4 = 2* \( 0,5^{-x-4} \)

aber in ihrer Rechnung beginnen sie mit

\( 0,5^{x} \) - 4 = 2* \( 0,5^{-x} \)*\( 0,5^{-4} \)

Wieso ist das so?

---

Potenzgesetz:  a^m+n = a^m · aⁿ

das gilt natürlich auch für negative Zahlen m und n