Was ist die Gleichung der Ortskurve der Extrema von fa(x)

Question

Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Ortskurve der der Extrema der Schar fa(x)=x durch a*e^ax

Problem/Ansatz:

Answer 1

\(f_a\,'(x)= \dfrac{e^{-a x} (1 - a x)}{a},\: f_a\,''(x)= e^{-a x} (a x - 2)\)

Setzt du die 1. Ableitung gleich null erhältst du: \(f_a\,'(x)=0 \rightarrow x=\dfrac{1}{a} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{x}\)

Einsetzen von möglichem lok. Extremum in die 2. Ableitung: \(f_a\,''(\frac{1}{a}) = -\dfrac{1}{e}\neq 0\)

Der Extrempunkt liegt demnach bei \(E\left(\dfrac{1}{a}\bigg|f_a(\frac{1}{a})\right)=E\left(\dfrac{1}{a}\bigg|\dfrac{1}{e\cdot a^2}\right)\)

Also ergibt sich: \(y=\dfrac{1}{e\cdot a^2}\), wobei wir wissen, dass \(a=\dfrac{1}{x}\) gilt. Setzen wir das in die Gleichung für den y-Wert ein, ergibt sich:

\(y=\dfrac{x^2}{e}\). Das ist die gesuchte Ortskurve.