Volumen eines Eies berechnen

Question

Aufgabe:

Durch Fotografieren eines Hühnereies kann man seine Querschnittsmaße a und b gut bestimmen. Das Ei hat nahezu die Form einer Elipse mit der Gleichung (x/a)^2+ (y/b)^2=1

y=f(x)

P1(0|2)

P2(3|0)

P3(-3|0)

a) Bestimmen Sie die Gleichung der oberen Randkurve f des Eies.

b) Berechnen Sie das Eivolumen.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion rausgefunden, indem ich nach y^2 umgeformt habe.

y^2= -4/9*x^2+4

muss ich jz Wurzel ziehen?

Ich habe im Internet die Aufgabe gefunden, konnte aber den Lösungsweg nicht nachvollziehen. Sie haben von 0 bis 3 integriert wieso nicht von -3 bis 3 die Funktion hat ja ihre Nullstellen bei -3 und 3. Außerdem weiß ich nicht, wie ich die Stammfunktion bilden soll, wenn ich die Wurzel ziehen soll.

Answer 1

Ich habe im Internet die Aufgabe gefunden, konnte aber den Lösungsweg nicht nachvollziehen. Sie haben von 0 bis 3 integriert wieso nicht von -3 bis 3

Da die Ellipse (und damit auch der Rotationskörper) symmetrisch ist, kann man das Volumen des halben Ei berechnen und das Ergebnis verdoppeln.

muss ich jz Wurzel ziehen?

Warum solltest du das? Beim Rotationsvolumen muss nicht y, sondern π*y² integriert werden

Comments

Stimmt, danke

Answer 2

P₁(0|2) und P₂(3|0) in (x/a)²+ (y/b)²= 1 einsetze, ergibt a=3 und b=2.

y²/4=1-x²/9

y=2√(1-x²/9) ist Gleichung der oberen Randkurve

V=π·\( \int\limits_{-3}^{3} \) (1-x²/9) dx.

Answer 3

Ich setze voraus das es bis hierhin stimmt
y^2= -4/9 *x^2 + 4
Die Funktion ist
y = √ ( -4/9 *x^2 + 4 )
f ( x ) = √ ( -4/9 *x^2 + 4 )
f ( x ) ist der Radius r der Fläche beim Rotieren
an der Stelle x.
A ( x ) = π * r^2 = π * [ f ( x ) ] ^2
A ( x ) = π * [ √ ( -4/9 *x^2 + 4 ) ] ^2
A ( x ) = π * ( -4/9 *x^2 + 4 )

Stammfunktion
S ( x ) = π * ( -4/9 *x^3/3 + 4*x )
Falls die Nullstellen bei x = -3 und x = 3
sind sind dies die Integrationsgrenzen.
Du kannst aber auch zwischen die Integrations-
grenzen bei x=0 und x=3 wählen. Dies ist die
Hälfte des Rotationskörpers und dann das Ergebnis
mal 2 nehmen. x = 0 entfällt dann.