Anzahl Nullstellen von fa(x)=lnx+a/x für 0<a<1?

Question

Gute Abend,

ich sitze jetzt seit einiger Zeit an dieser Aufgabe und komme nicht voran.

Und zwar ist die Kurvendiskussion der Schar fa(x)=lnx+a/x für 0<a<1 gesucht.

Ich habe bereits die Extrema (TP(a | lna+1) sowie den Wendepunkt berechnet.

Jedoch komme ich bei den Nullstellen nicht weit. Mir ist der Ansatz fa(x)=0 bewusst aber ich kriege da nichts sinnvolles raus. Die Lösung zu den Nullstellen wurde mir bereits gegeben allerdings weiß ich jetzt nicht wie man darauf kommt.

Lösung für die Nullstellen:

keine Nullstelle für a>e^-1

doppelte Nullstelle für a = e^-1

zwei Nullstellen für a<e^-1

Ich würde mich sehr über eine schnelle Antwort freuen :) -

liebe grüße Karla

Answer 1

Lösung für die Nullstellen:

keine Nullstelle für a>e^-1

doppelte Nullstelle für a = e^-1

zwei Nullstellen für a<e^-1

Offenbar sollst du nur die Anzahl Nullstellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Da brauchst du keine Nullstellen exakt zu berechnen.

Comments

Und wie macht man das?

Danke für die schnelle Antwort.

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Argumentiere mit irgeneinem Zwischenwertsatz, den ihr gehabt habt, Stetigkeit, Grenzwerten und den berechneten Hoch- / Tiefpunkten.

Skizze:

~plot~ ln(x)+0.1/x;ln(x)+0.2/x;ln(x)+0.9/x;ln(x)+1 ~plot~

Answer 2

Die Nullstellen kann man algebraisch nicht ermitteln.