Grenzwerte einer gebrochenen Funktion: Bsp. lim_(x->1) cos(x)/(1-x)

Question

Zur Klausurvorbereitung bin ich mehrere Altklausuren durchgegangen und eine Sache bereitet mir immernoch Schwierigkeiten.

Wie erkenne ich, ob bei einem Grenzwert z.B. bei der Definitionslücke einer gebrochehen Fkt, ein endlicher Wert als Grenzwert existiert oder doch plus/minus Unendlich.

Ich hatte mehrere Aufgaben dazu, bei bei manchen war es so bei anderen so.

Answer 1

Zerlege Zahler und Nenner vollständig in Linearfaktoren und kürze dann.Beispiel (x³+x²-4x-4)/(x³+6x²+11x+6)=

\( \frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)} \) =\( \frac{x-2}{x+3} \) .

Nach dem Kürzen sind die Nullstellen des Nenners (hier x=-3) Polstellen. Vor dem Kürzen gab es noch hebbare Definitionslücken (hier x=-1 und x=-2).

Comments

Hey danke für die Antwort, leider beantwortet das meine Frage nicht.

Vielleicht kann ich es anhand eines Beispieles verdeutlichen.

Ich hatte einmal folgende Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to1}\frac{cosx}{1-x}  = + unendlich $$

x=1 ist eine nullstelle vom Nenner, jedoch nicht vom Zähler. Sprich x=1 = Polstelle

die zweite Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} = \frac{4}{3} $$ 

hier ist x=4 eine hebbare Definitionslücke.

Ich frage mich, ob gerade das (Polstelle, hebbare Definitionslücke) der Grund dafür ist, dass ich bei der oberen unendlich raus bekomme und bei der Zweiten einen Wert.

Ich hoffe, ich konnte es verständlich ausdrücken.

Lg

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Eine Nullstelle des Nenners, die gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist, ist ein hebbare Definitionslücke (keine Polstelle). Eine Nullstelle des Nenners, die keine Nullstelle des Zählers ist, ist eine Polstelle (hier gehen die Funktionswerte gegen ±∞.

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Eine Nullstelle des Nenners, die gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist, ist ein hebbare Definitionslücke (keine Polstelle).

Solange der Grad der Nullstelle des Nenners nicht grösser ist als der Grad derselben Nullstelle des Zählers.

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Stimmt, darauf ist zu achten.

Answer 2

1.Beispiel : ( Zähler <> 0 ) / 0  ergibt ≈ ( Polstelle )

Bei deinem 2.Beispiel erhältst du nach Einsetzung
von x = 4 : 0 / 0
Ein Fall für l´Hospital
[ √ ( 1 + 2x ) - 3 ] /  ( √ x - 2 )

z ´ / n ´ = 
2 / [ ( 2 * √ ( 1 + 2x ) ]
--------------------------
1 / ( 2 * √ x )

2 * √ x / √ ( 1 + 2x )

4 / 3  ( hebbare Lücke )

Comments

ich weiß wie man die Grenzwerte berechnet und auch was Polstellen und hebbare DL sind.

Mir ging es nicht um den Rechenweg, ich bin lediglich von den Ergebnissen verwirrt.

Ich würde gerne wissen, wie ich erkennen kann ob ich einen exakten Wert als Grenzwert erhalte oder eben ob ich den Graphen entlang von den Unendlichkeiten betrachte.

Die zwei Beispiele waren nur zur Verdeutlichung. Ich habe sie etwas abgekürzt und nur die Ergebnisse aufgeschrieben, ohne Rechenweg, den ich weiß dass die Richtig sind, da ich die Lösungen habe.

Meine Beobachtung war, dass wenn man x gegen eine hebbaren DL laufen lässt meist ein exakter Wert gesucht wird, wohingegen bei Polstellen die Unendlichkeit betracht wird. Stimmt meine Theorie oder ist das nur ein Zufall?

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Division durch Null :
Es gibt 2 Möglichkeiten
Polstelle oder hebbare Lücke.

1.) Polstelle bei ( Zähler <> 0 )
Beispiel : 1 / x
Grenzwert für x = 0
Von links : lim x -> 0 (-) [ 1 / x ) ]= 1 / 0(-) = -∞
von rechts :lim x -> 0 (+) [ 1 / x ) ]= 1 / 0(+) = +∞

2.) hebbare Lücke bei ( Zähler auch = 0 )
Beispiel : [ √ ( 1 + 2x ) - 3 ] /  ( √ x - 2 )
Grenzwert für x = 4 ergibt 0 / 0
Du kannst dich natürlich über Rechnungen
mit
x = 3.9, 3.99, 3.999
x = 4.1, 4.01, 4.001
an die Lücke herantasten.
Einfacher und weniger arbeitsintensiv geht
es mit l ´ Hospital. Bei
z / n = 0 / 0
die erste Ableitung von Zähler und Nenner
berechnen.
z ´  / n ´ = Grenzwert.