Bahnkurve einer Zykloide

Question

Wir kennen die Bahnkurve einer Zykloide:

$$ \vec { r ( t ) } = R \left( \begin{array} { c } { w t - \sin ( w t ) } \\ { 1 - \cos ( w t ) } \end{array} \right) $$

R ist dabei der Radius des rollenden Rades und w die konstante Winkelgeschwindigkeit, mit der das Rad rollt.

1. Wie groß sind die maximale Geschwindigkeit und die Beschleunigung des sich bewegenden Punktes?

2. Berechne die Länge der Zykloide für den Fall, dass das Rad eine Umdrehung abgerollt wird. D.h. t ∈ [0; T] mit T = 2π/w.

Comments

hi

ist in der x-komponente deines ortsvektors ein w zuviel drin?
ich denke, die vektorfunktion der zykloide sieht so aus:

\( \vec{r}(t) = R(t-sin(ωt), 1-cos(ωt)) \)

bei 1. würde ich sagen, ist das maximum der betragsfunktion des
geschwindigkeitvektors und das maximum der betragsfunktion des beschleunigungvektors
gesucht. viel spaß mit den ableitungen :D

bei 2. einfach das integral für die berechnung der bogenlänge einer raumkurve benutzen
wobei die z-komponente wegfällt. für die bogenlänge von 0 bis 2pi müsstest du dann 8R
rausbekommen.

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Ich denke das tw ist berechtigt, weil die zurückgelegte Strecke auch von der Winkelgeschwindigkeit abhängt.

Also wenn man z.b. für t vielfache von 2pi einsetzt, dann würden wir horizontal in der zeit 2pi den weg 2pi zurücklegen. Der erhöht sich aber mit der Winkelgeschwindigkeit.

Siehe auch http://www.tm-aktuell.de/TM5/Zykloiden/zykloidenTMi.html

Ich würde das wie folgt probieren

x = R·(w·t - SIN(w·t))
x' = R·w·(1 - COS(t·w))

y = R·(1 - COS(w·t))
y' = R·w·SIN(t·w)

x' und y' sollen hier die Ableitungen nach der Zeit sein die man normal mit einem Punkt schreibt.

v = √((x')^2 + (y')^2)
v = √((R·w·(1 - COS(t·w)))^2 + (R·w·SIN(t·w))^2)
v = √(2·R^2·w^2·(1 - COS(t·w)))

Wenn die Geschwindigkeit maximal ist muss auch das Quadrat der Geschwindigkeit maximal sein.

(v^2)' = 2·R^2·w^3·SIN(t·w) = 0

Jetzt wohl noch 2. Ableitung < 0 prüfen...

Answer 1

Hallo,

wir berechnen

\( v_x = R(\omega - \omega \cos(\omega t)) = R\omega (1 - \cos(\omega t)) \),
\( v_y = R \omega \sin(\omega t) \)

und schließen

\( v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = R \omega \sqrt{2 - 2 \cos(\omega t)} \leq 2 R \omega \).

Weiter ist

\( a_x = R \omega^2 \sin(\omega t) \),
\( a_y = R \omega^2 \cos(\omega t) \),

sodass

\( a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = R \omega^2 \)

ist.

Die Weglänge berechnet sich mit der Substitution \( t = \frac{2t'}{\omega} \) (dabei ergibt sich \( T' = \frac{\omega}{2} T \)) aus

\( L = \int_0^{\frac{2 \pi}{\omega}} v(t) dt \)
\( = \sqrt{2} R \omega \int_0^\pi \sqrt{1 - \cos(\omega t)} dt \)
\( = 2 \sqrt{2}R \int_0^\pi \sqrt{1 - \cos(2t')} dt' \)
\( = 2 \sqrt{2}R \int_0^\pi \sqrt{1 - \cos^2(t') + \sin^2(t')} dt' \)
\( = 2 \sqrt{2}R \int_0^\pi \sqrt{2 \sin^2(t')} dt' \)
\( = 4 R \int_0^\pi \sqrt{\sin^2(t')} dt' \)
\( = 4 R \int_0^\pi | \sin(t') | dt' \)
\( = 4 R \int_0^\pi \sin(t') dt' \)
\( = 8 R \).

Quelle: https://de.wikiversity.org/wiki/Zykloide/L%C3%A4ngenberechnung/Beispiel

Grüße

Mister