a)
$$\vec { r } (t)=\begin{pmatrix} { v }_{ x }t \\ 0,5{ a }_{ y }{ t }^{ 2 } \\ { c+ }{ v }_{ z }t-0,5g{ t }^{ 2 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20t \\ 0,5{ *50 }{ t }^{ 2 } \\ 1500{ + }{ 100 }t-0,5*10{ t }^{ 2 } \end{pmatrix}$$Der Aufschlag erfolgt, wenn die z-Komponente den Wert Null annimmt, also:$$\vec { { r }_{ z } } (t)=0$$$$\Leftrightarrow 1500{ + }{ 100 }t-0,5*10{ t }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow 300{ + }{ 20 }t-{ t }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { t }^{ 2 }-20t=300$$$$\Leftrightarrow { t }^{ 2 }-20t+100=400$$$$\Leftrightarrow { (t-10) }^{ 2 }=400$$$$\Leftrightarrow { t-10 }=\pm 20$$$$\Leftrightarrow { { t }_{ 1 } }=-10;{ t }_{ 2 }=30$$Da man an einem zukünftigen Ereignis interessiert ist, ist der positive Wert maßgeblich. Der Aufschlag erfolgt also zum Zeitpunkt:$$ t=30$$am Ort:$$\vec { r } (30)=\begin{pmatrix} 600 \\ 22500 \\ 0 \end{pmatrix}$$
b)
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit, also:$$\vec { v } (t)=\frac { d\vec { r } (t) }{ dt } =\frac { d\begin{pmatrix} 20t \\ 0,5{ *50 }{ t }^{ 2 } \\ 1500{ + }{ 100 }t-0,5*10{ t }^{ 2 } \end{pmatrix} }{ dt } =\begin{pmatrix} 20 \\ { 50 }{ t } \\ { 100 }-10{ t } \end{pmatrix}$$Der Geschwindigkeitsvektor nach 10 Sekunden ist:$$\vec { v } (10)=\begin{pmatrix} 20 \\ { 500 } \\ 0 \end{pmatrix}$$Sein Betrag ist dann:$$|\vec { v } (10)|=\sqrt { 20^{ 2 }+{ 500 }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 } } =\sqrt { 250400 } \approx 500,4\frac { m }{ s }$$
c)
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also:$$\vec { a } (t)=\frac { d\vec { v } (t) }{ dt } =\frac { d\begin{pmatrix} 20 \\ { 50 }{ t } \\ { 100 }-10{ t } \end{pmatrix} }{ dt } =\begin{pmatrix} 0 \\ { 50 } \\ -10 \end{pmatrix}$$Offensichtlich hängt die Beschleunigung nicht von der Zeit t ab, sondern ist konstant, also:$$\vec { a } (10)=\vec { a } =\begin{pmatrix} 0 \\ { 50 } \\ -10 \end{pmatrix}$$Ihr Betrag ist:$$|\vec { a } |=\sqrt { 0^{ 2 }+{ 50 }^{ 2 }+{ (-10) }^{ 2 } } =\sqrt { 2600 } \approx 51,0\frac { m }{ { s }^{ 2 } }$$
