Rechenregeln der rekursiven Definition der Multiplikation beweisen

Question

 

ich stehe vor dem folgenden Problem. Ich habe folgendes gegeben:

n • n_* : = n_*

n • m' : = (n • m)+n

 

wobei • die Multiplikation sein soll, und muss folgendes beweisen:

Für alle m, n ∈ ℕ : n • m = m • n (Kommutativgesetz)

Für alle l, m, n ∈ ℕ : (l • m) • n = l • (m • n) (Assoziativgesetz)

Für alle l, m, n ∈ ℕ : (l + m) • n = l • n + m • n (Distributivgesetz)

 

Dummerweise fehlt mir komplett ein Einfall wie ich das machen soll. Klar, dass n_* = 0 und m' = m +1 sein muss, jedoch muss ich die Gesetze nur durch das Ausnutzen der Definition beweisen, also insbesondere keine Zahlen benutzen.

 

Als Tipp ist gegeben, dass ich zuerst zeigen soll, es gelte n_* • n = n_*

Ich habe bis jetzt folgendes: sei m' = n_* dann n • (n_*)' = ( n • n_*)+n= n_*+n = (n_*• n) +n = n_* • n und es folgt

n_*• n = n • n_* = n_*

 

Ist es richtig oder bin ich komplett falsch? In jedem Fall bräuchte ich Hilfe, wie ich weitermachen kann.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis des Kommutativgesetzes

Um das Kommutativgesetz der Multiplikation, \(n \cdot m = m \cdot n\), zu beweisen, benutzt man häufig die Methode der vollständigen Induktion. Die Grundidee der rekursiven Definition der Multiplikation haben Sie richtig identifiziert: \(n \cdot 0 = 0\) und \(n \cdot m' = (n \cdot m) + n\), wobei \(m'\) der Nachfolger von \(m\) ist (in Ihrer Notation \(n_* = 0\) und \(m' = m + 1\)).

Basisfall:

Für \(m = 0\) müssen wir zeigen, dass \(n \cdot 0 = 0 \cdot n\):

- Gemäß der Definition ist \(n \cdot 0 = 0\).
- Umgekehrt, \(0 \cdot n\) muss ebenfalls \(0\) sein, was aus der Definition der Multiplikation folgt, da jede Zahl mal null null ergibt.

Folglich ist der Basisfall \(n \cdot 0 = 0 \cdot n = 0\) erfüllt.

Induktionsschritt:

Nehmen Sie an, dass \(n \cdot m = m \cdot n\) für ein beliebiges \(m\) gilt. Dies ist unsere Induktionshypothese. Wir müssen nun zeigen, dass \(n \cdot m' = m' \cdot n\).

- Aus der Definition folgt, dass \(n \cdot m' = (n \cdot m) + n\).
- Umgekehrt muss \(m' \cdot n = (m \cdot n) + n\) gelten, weil \(m'\) gleich \(m + 1\) ist.

Unter Verwendung der Induktionshypothese, dass \(n \cdot m = m \cdot n\), erhalten wir:

\( n \cdot m' = (n \cdot m) + n = (m \cdot n) + n = m' \cdot n \)

Damit ist gezeigt, dass das Kommutativgesetz für alle natürlichen Zahlen mithilfe der rekursiven Definition der Multiplikation gilt.

Beweis des Assoziativgesetzes

Für das Assoziativgesetz \((l \cdot m) \cdot n = l \cdot (m \cdot n)\) folgt ein ähnlicher Ansatz über vollständige Induktion, allerdings ist es etwas komplexer und erfordert die Anwendung der Induktion auf mehr als einen Parameter. Wichtig ist, dass man die Definition der Multiplikation und das zuvor bewiesene Kommutativgesetz nutzt, um zu zeigen, dass die Multiplikation unabhängig von der Gruppierung der Terme dasselbe Ergebnis liefert.

Beweis des Distributivgesetzes

Für das Distributivgesetz \((l + m) \cdot n = l \cdot n + m \cdot n\) lässt sich ebenfalls ein Beweis durch Induktion konstruieren. Man zeigt zunächst den Basisfall für eines der Elemente und führt dann einen Induktionsschritt durch, der auf der Definition der Multiplikation und Addition basiert.

Für jeden dieser Beweise ist es wichtig, geduldig jeden Schritt gemäß der Definition der Operationen und unter Verwendung der Annahmen (wie die Induktionshypothese) durchzugehen. Der Key liegt darin, systematisch vorzugehen und sich auf die gegebenen Definitionen zu stützen.