Aufgabe:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe: f(x)=∑k=0∞ \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} k=0∑∞ k2k \frac{k}{2^k} 2kk xk-1
Käme da ρ = 1/0.5= 2 raus?
der Konvergenzradius ergibt sich aus
ρ=limk→∞∣akak+1∣ \rho = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| ρ=limk→∞∣∣∣∣ak+1ak∣∣∣∣
=limk→∞∣2kk+1∣ = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{2 k}{k+1} \right| =limk→∞∣∣∣k+12k∣∣∣
=2 limk→∞∣kk+1∣⏟1 = 2\ \underbrace{ \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{k}{k+1} \right| }_{1} =2 1k→∞lim∣∣∣∣∣k+1k∣∣∣∣∣
=2 = 2 =2.
Mister
Wäre das mit dem Wurzelkriterium nicht einfacher gewesen?
Das kommt darauf an. Ich denke nicht.
ich habe den Wert den ich beim Wurzelkriterium erhalten habe: W=1/2 dividiert, also 1/W=1/0.5=2. Das würde auch gehen oder?
Ja, aber für das Wurzelkriterium muss man hier limk→∞kk=1 \lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{k} = 1 limk→∞kk=1 verwenden, während man beim Quotientenkriterium lediglich limk→∞kk+1=1 \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{k}{k+1} = 1 limk→∞k+1k=1 anwenden muss.
Daher erscheint mir das Wurzelkriterium hier schwieriger als das Quotientenkriterium.
Ein anderes Problem?
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