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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe: f(x)=k=0 \sum\limits_{k=0}^{\infty}{}  k2k \frac{k}{2^k} xk-1

Käme da ρ = 1/0.5= 2 raus?

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0 Daumen

der Konvergenzradius ergibt sich aus

ρ=limkakak+1 \rho = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right|

=limk2kk+1 = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{2 k}{k+1} \right|

=2 limkkk+11 = 2\ \underbrace{ \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{k}{k+1} \right| }_{1}

=2 = 2 .

Mister

Avatar von 8,9 k

Wäre das mit dem Wurzelkriterium nicht einfacher gewesen?

Das kommt darauf an. Ich denke nicht.

ich habe den Wert den ich beim Wurzelkriterium erhalten habe: W=1/2 dividiert, also 1/W=1/0.5=2. Das würde auch gehen oder?

Ja, aber für das Wurzelkriterium muss man hier limkkk=1 \lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{k} = 1 verwenden, während man beim Quotientenkriterium lediglich limkkk+1=1 \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{k}{k+1} = 1 anwenden muss.

Daher erscheint mir das Wurzelkriterium hier schwieriger als das Quotientenkriterium.

Ein anderes Problem?

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