konvergenzradius, konvergenzkriterien

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe: f(x)=\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \frac{k}{2^k} \) x^k-1

Käme da ρ = 1/0.5= 2 raus?

Answer 1

der Konvergenzradius ergibt sich aus

\( \rho = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| \)

\( = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{2 k}{k+1} \right| \)

\( = 2\ \underbrace{ \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{k}{k+1} \right| }_{1} \)

\( = 2 \).

Mister

Comments

Wäre das mit dem Wurzelkriterium nicht einfacher gewesen?

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Das kommt darauf an. Ich denke nicht.

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ich habe den Wert den ich beim Wurzelkriterium erhalten habe: W=1/2 dividiert, also 1/W=1/0.5=2. Das würde auch gehen oder?

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Ja, aber für das Wurzelkriterium muss man hier \( \lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \) verwenden, während man beim Quotientenkriterium lediglich \( \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{k}{k+1} = 1 \) anwenden muss.

Daher erscheint mir das Wurzelkriterium hier schwieriger als das Quotientenkriterium.