Zeigen Sie: Für alle x, y € R folgende Ungleichungen mit Beträgen gelten: 1/|x-2| > 1/(1+|x-1|)

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie: Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt \( |x+y|+|x-y| \geq|x|+|y| \)

b) Zeigen Sie: Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt \( \frac{|x+y|}{1+|x+y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|} \)

c) Finden Sie alle \( x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \) für die \( \frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|} \) gilt.

Comments

Ich denke mal sollte so ähnlich sein wie das hier:

https://www.mathelounge.de/4699/zeigen-sie-dass-fur-alle-reellen-zahlen-x-y-gilt-ii-x-i-i-ii-i-x-y-i

Stichwort: Fallunterscheidung...

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Ich schaffe die 3.3 und 3.4 nicht -.-

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Für 3.4 gibt es auf der FB Gruppe HHU Analgebra ein Klasse Video.

Da wird der goldene Schnitt anhand eines Quaders erklärt. Da musst du einfach a und b mit EH und EC ersetzen.

Wenn du die ganzen Schritte einmal schriftlich machst, wirst du es auch verstehen.

Am Ende kommt schließlich der goldene Schnitt raus :)

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hat irgendjemand schon was gefunden ? Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen das wir hier Fallunterscheidungen machen sollen. Das wären doch arg viele Möglichkeiten ?

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c) vgl. hier:

https://www.mathelounge.de/67032/ungleichungen-mit-betragen

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Das Wichtigste ist, die Fälle schön übersichtlich darzustellen. Siehe hier https://www.mathelounge.de/66847/ungleichung-betrag-ix-1i-ix-1i-5

Da kann eigentlich nicht viel schiefgehen, wenn man das so schön strukturiert.

Answer 1

So viele Möglichkeiten sind das gar nicht. 4 Möglichkeiten  bei zwei verschiedenen Beträgen.

c)

1.) x-1 > 0, x-2 > 0, 1+x-1 > x-2

2.) x-1 < 0, x-2 > 0, 1-x+1 > x-2

3.) x-1 > 0, x-2 < 0, 1+x-1 > -x+2

4.) x-1 > 0, x-2 < 0, 1-x+1 > -x+2


Bei 1.) kommt -1 > -3, was immer wahr ist, für x > 1.

Bei 2.) ergibt sich ein Widerspruch.

Bei 3.) ergibt sich nichts neues.

Bei 4.) ergibt sich -x > -x, was nicht sein kann, für x < 1.


Als Lösungsmenge ergibt sich $$x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$$