Weather in Sikirien is determined by chance.
If it rains on a given day, then the probability it will rain the next day increases by 10 percentage points (up to 100%).
If it does not rain on a given day, then the probability it will rain the next day decreases by 10 percentage points (down to 0%).
[B]a.)[/B] If the probability it will rain today is 60%, what is the probability that it will eventually rain every day, for all time?
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Problem Ansatz :
an einem Tag mit [l]x\%[/l] Regenwahrscheinlichkeit sei [l]p_x[/l] die Wkt, dass es irgendwann mal immer täglich regnen wird .
Gesucht ist [l]p_{60}[/l] Es gilt dann das LGS
[l]p_0=0[/l]
[l]p_{10}=0.1p_{20}+0.9p_{0}[/l]
[l]p_{20}=0.2p_{30}+0.8p_{10}[/l]
[l]p_{30}=0.3p_{40}+0.7p_{20}[/l]
[l]p_{40}=0.4p_{50}+0.6p_{30}[/l]
[l]p_{50}=0.5p_{60}+0.5p_{40}[/l]
[l]p_{60}=0.6p_{70}+0.4p_{50}[/l]
[l]p_{70}=0.7p_{80}+0.3p_{60}[/l]
[l]p_{80}=0.8p_{90}+0.2p_{70}[/l]
[l]p_{90}=0.9p_{100}+0.1p_{80}[/l]
[l]p_{100}=1[/l]
[mathpix schau ich mir noch an - ist mein erster Beitrag!]
der Reihe nach von oben eingesetzt ergibt sich [l]p_{90}=\frac{511}{512}[/l].
Und jetzt der Reihe nach von unten eingesetzt ergibt sich [l]p_{60}=\frac{191}{256}\approx 74.6\%[/l].
Oder man löst die 9x10 Tridiagonalmatix mit den Rechner.
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[B]b.)[/B] Gibt es außer einer Simulation Möglichkeiten den Erwartungswert der Anzahl der Wartetage bis zum stationären Zustand zu bestimmen?
Ansatz: der stationäre Zustand - ( Zustand S ) - wird erreicht, indem entweder Dauerregen oder Dauertrockenheit eintritt.
p(Dauerregen) ist oben berechnet =191/256. Jetzt müsste man noch p(Dauertrockenheit) bestimmen und addieren und schreibt dann formal p(S)=s
Wenn nun T die Zufallsgröße der Wartezeit bis S ist, dann ist E(T) gesucht.
Irgendeine Idee?
