Definition:
Ein K-Vektorraumisomorphismus φ : V→V′ ist ein K-Vektorraumhomomorphismus,
der die Bedingungen von 6.2 (i) (siehe unten) erfüllt.
Die durch ein solches φ eindeutig bestimmte Abbildung φ−1: heisst der zu φ inverse Homomorphismus.
Bedingung 6.2 (i):
Für einen K-Vektorraumhomomorphismus φ : V→V′ sind folgende zwei Bedingungen äquivalent:
(1) Es gibt einen Homomorphismus φ′ : V′→V mit φ′∘φ=idV und φ∘φ′=idV′
(2) φ ist bijektiv.
In meinen eigenen Worten:
Haben wir eine Abbildung Φ gegeben, überprüfen wir zuerst mit (3),(4) ob Φ ein Vektorraumhomomorphismus ist.
(3) Für alle v,w in V gilt: Φ(v+w)=Φ(v)+Φ(w).
(4) Für alle a in K und für alle v in V gilt Φ(av)=a∗Φ(v).
Angenommen wir haben dies überprüft, und alles stimmt, dann ist schon mal Φ ein Homomorphismus.
Nun wollen wir schauen, ob Φ sogar ein Vektorraumisomorphismus ist. Naja, dazu muss Φ bijektiv sein. Denn wenn eine Abbildung bijektiv ist, existiert eine eindeutige Umkehrabbildung Φ′, und nach obiger Definition, muss Φ′ ebenfalls ein Homomorphismus sein.
Frage:
(5) Reicht es bei Isomorphismen zu überprüfen dass eine gegebene Abbildung Φ : V→V′ ein Homomorphismus ist und reicht es zu überprüfen ob genau seine Umkehrabbildung Φ−1 ebenfalls ein Homomorphismus ist um daraus schliessen zu können dass Φ ein bijektiver Homomorphismus = Isomorphismus, ist. ?
(6) Ich sehe nicht, wie ich Bijektivität sonst zwischen Vektorräumen untersuchen könnte ausser die Elemente zu zählen und vergleichen oder die Kardinalitäten zweier Vektorräume zu vergleichen.
