Definition:
Ein K-Vektorraumisomorphismus \(φ: V→ V'\) ist ein K-Vektorraumhomomorphismus,
der die Bedingungen von 6.2 (i) (siehe unten) erfüllt.
Die durch ein solches \(φ\) eindeutig bestimmte Abbildung \(φ^{-1}\): heisst der zu \(φ\) inverse Homomorphismus.
Bedingung 6.2 (i):
Für einen K-Vektorraumhomomorphismus \(φ: V→ V'\) sind folgende zwei Bedingungen äquivalent:
(1) Es gibt einen Homomorphismus \(φ': V'→ V\) mit \(φ'\circφ = id_{V}\) und \(φ\circφ' = id_{V'}\)
(2) \(φ\) ist bijektiv.
In meinen eigenen Worten:
Haben wir eine Abbildung \(Φ\) gegeben, überprüfen wir zuerst mit (3),(4) ob \(Φ\) ein Vektorraumhomomorphismus ist.
(3) Für alle v,w in V gilt: \(Φ(v+w) = Φ(v)+Φ(w).\)
(4) Für alle a in K und für alle v in V gilt \(Φ(av) = a*Φ(v).\)
Angenommen wir haben dies überprüft, und alles stimmt, dann ist schon mal \(Φ\) ein Homomorphismus.
Nun wollen wir schauen, ob \(Φ\) sogar ein Vektorraumisomorphismus ist. Naja, dazu muss \(Φ\) bijektiv sein. Denn wenn eine Abbildung bijektiv ist, existiert eine eindeutige Umkehrabbildung \(Φ'\), und nach obiger Definition, muss \(Φ'\) ebenfalls ein Homomorphismus sein.
Frage:
(5) Reicht es bei Isomorphismen zu überprüfen dass eine gegebene Abbildung \(Φ: V → V'\) ein Homomorphismus ist und reicht es zu überprüfen ob genau seine Umkehrabbildung \(Φ^{-1}\) ebenfalls ein Homomorphismus ist um daraus schliessen zu können dass \(Φ\) ein bijektiver Homomorphismus = Isomorphismus, ist. ?
(6) Ich sehe nicht, wie ich Bijektivität sonst zwischen Vektorräumen untersuchen könnte ausser die Elemente zu zählen und vergleichen oder die Kardinalitäten zweier Vektorräume zu vergleichen.
