Wahrscheinlichkeit: Gemeinsame Verteilung von geimpften und erkälteten Mitarbeitern

Question

In einem Betrieb mit 30 Mitarbeitern wurden 20 prophylaktisch
gegen Influenza geimpft. Insgesamt hatten 6 Mitarbeiter eine Erkältung:

	erkältet	gesund	Summe
geimpft	x	20-x	20
ungeimpft	6-x	4+x	10
Summe	6	24	30

Berechnen Sie unter der Annahme, dass das Erkältungsrisiko, geimpft
oder ungeimpft, gleich groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass
sich zwei der geimpften Mitarbeiter erkälten: P(X = 2)

wie berechnet man das?

Comments

könnte jemand mir helfen?

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Annahme, dass das Erkältungsrisiko, geimpft
oder ungeimpft, gleich groß ist

Annahme bedeutet, falls deine Vierfeldertafel stimmt:

x / 20 = (6 -x) / 10

Damit kannst du x berechnen.

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ich habe P(X=2)= 0.257 gefunden .ist ds richtig ?

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Damit kannst du x berechnen.

Du hast die Aufgabe nicht verstanden.  x = 2  ist gegeben !

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Hmm, X=2 und nicht x=2. Ich denke, dass Lu es richtig verstanden hat.

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Könnt ihr denn einfache Texte nicht lesen ?
Also wenn du es gerne kompliziert willst :  Gesucht ist P(X=x) für x=2.

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Hast ja recht!

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@hj: Was willst du mit der Bedingung "Annahme, dass das Erkältungsrisiko, geimpft
oder ungeimpft, gleich groß ist, " anstellen?

Mir ist klar, dass nachher noch das konkrete x=2 in die Rechnung kommen muss.

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mit der Bedingung  .. anstellen

Die Bedingung wird gebraucht, um die entsprechenden Faktoren aus der Formel für die b.W. herauskürzen zu können.

nachher noch das konkrete x=2 in die Rechnung kommen

na dann mal los.

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ich habe P(X=2)= 0.257 gefunden .ist ds richtig ?

Nein. Richtig ist  P(X=2) = 6,72% .

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Fiese Frage - soviele Informationen um einen zu verwirren und hj's Kommentare haben einen noch weiter auf den Irrweg geführt (oder ich habe einen anderen Lösungsweg, was genau hast du gekürzt? Ich habe zumindest das gleiche Ergebnis...)

Wenn jede Person die gleiche Whk. hat für eine Erkältung "ausgewählt" zu werden, dann ist die Whk. dafür, dass von 6 Erkrankten 2 geimpft sind, eine stinknormale hypergeometrische Verteilung

\(P(X=2)=\frac{\binom{20}{2}\cdot\binom{10}{4}}{\binom{30}{6}}\approx 6,72\%\)

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Meine Überlegungen waren folgende :

	erkältet	gesund	Summe
geimpft	x		20
ungeimpft	y-x		10
Summe	y		30

Sei X die Anzahl der geimpften Erkälteten und sei Y Anzahl der Erkälteten insgesamt, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X=2 ist gesucht unter der Voraussetzung, dass Y=6 ist, also die bedingte Wahrscheinlichkeit  P(X=2 | Y=6).
Nach Bayes ist also  P(X=2 und Y=6) / P(Y=6)  =  P(X=2 und Y-X=4) / P(Y=6)   zu berechnen.
Wenn das Erkältungsrisiko für Geimpfte p_1 und das für Ungeimpfte p_2 sowie das Erkältungsrisiko insgesamt unter allen 30 Leuten p ist, so ergibt sich für den obigen Term
(20 über 2)*p_1^2*(1-p_1)^18 * (10 über 4)*p_2^4*(1-p_2)^6 / ((30 über 6)*p^6*(1-p)^24).
Da nun aber p_1 = p_2 = p vorausgesetzt wird, lassen sich sämtliche p-Potenzen kürzen.

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Das hilft mir ein wenig besser zu verstehen, warum meine Rechnung richtig ist und wie die beiden Verteilungen hier verschmelzen. Ich war von meinem Weg nämlich nicht hundertprozentig überzeugt, auch wenn er irgendwie schon Sinn gemacht hat. Intuitiv habe ich aber auch zur Binominalverteilung tendiert - schließlich sollte für jede Person die gleiche Whk. gelten sich zu erkälten. Danke für die Klarstellung.