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Aufgabe: Seien X und Y zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung folgender Tabelle entnommen werden kann:



Y=

69

4

0,020,38
X=7
0,170,03

8
0,210,19


Berechnen sie die Varianz von X+Y


Stimmen sollte 2.70 
Problem/Ansatz:

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1 Antwort

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P(X=4) = P(X=4,Y=6) + P(X=4,Y=9) = 0,4
P(X=7) = P(X=7,Y=6) + P(X=7,Y=9) = 0,2
P(X=8) = P(X=8,Y=6) + P(X=8,Y=9) = 0,4

P(Y=6) = P(X=4,Y=6) + P(X=7,Y=6) + P(X=8,Y=6) = 0,4
P(Y=9) = P(X=4,Y=9) + P(X=7,Y=9) + P(X=8,Y=9) = 0,6

E(X) = ∑ xk·P(X=xk) = 6,2
E(Y) = ∑ yj·P(Y=yj) = 7,8

Var(X) = ∑ (xk-E(X))2·P(X=xk) = 3,36
Var(Y) = ∑ (yj-E(Y))2·P(Y=yj) = 2,16
Cov(X,Y) = ∑ ∑ (xk-E(X))·(yj-E(Y))·P(X=xk,Y= yj) = -1,41

Var(X+Y) = Var(X) + 2·Cov(X,Y) + Var(Y) = 2,70.

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vielen dank für die antwort, könntest du mir erklären wie ich die covarianz berechne und auf die -1.41 komme?

Die Doppelsumme besteht aus sechs Summanden. Ausgeschrieben lauten die etwa so:

(4 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,02 = +0,0792
(4 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,38 = -1,0032
(7 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,17 = -0,2448
(7 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,03 = +0,0288
(8 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,21 = -0,6804
(8 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,19 = +0,4104

Die Summe ist -1,41.

Wie kommt man auf die 6,2 und 7,8?

Das sind die Erwartungswerte E(X), bzw. E(Y).
Z.B. ist E(Y) = 6·P(Y=6) + 9·P(Y=9) = 6·0,4 + 9·0,6 = 7,8.
Siehe dazu auch weiter oben.

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