Varianz von X + Y berechnen

Question

Aufgabe: Seien X und Y zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung folgender Tabelle entnommen werden kann:

		Y=	6	9
	4		0,02	0,38
X=	7		0,17	0,03
	8		0,21	0,19

Berechnen sie die Varianz von X+Y

Stimmen sollte 2.70 
Problem/Ansatz:

Answer 1

P(X=4) = P(X=4,Y=6) + P(X=4,Y=9) = 0,4
P(X=7) = P(X=7,Y=6) + P(X=7,Y=9) = 0,2
P(X=8) = P(X=8,Y=6) + P(X=8,Y=9) = 0,4

P(Y=6) = P(X=4,Y=6) + P(X=7,Y=6) + P(X=8,Y=6) = 0,4
P(Y=9) = P(X=4,Y=9) + P(X=7,Y=9) + P(X=8,Y=9) = 0,6

E(X) = ∑ x_k·P(X=x_k) = 6,2
E(Y) = ∑ y_j·P(Y=y_j) = 7,8

Var(X) = ∑ (x_k-E(X))²·P(X=x_k) = 3,36
Var(Y) = ∑ (y_j-E(Y))²·P(Y=y_j) = 2,16
Cov(X,Y) = ∑ ∑ (x_k-E(X))·(y_j-E(Y))·P(X=x_k,Y= y_j) = -1,41

Var(X+Y) = Var(X) + 2·Cov(X,Y) + Var(Y) = 2,70.

Comments

vielen dank für die antwort, könntest du mir erklären wie ich die covarianz berechne und auf die -1.41 komme?

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Die Doppelsumme besteht aus sechs Summanden. Ausgeschrieben lauten die etwa so:

(4 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,02 = +0,0792
(4 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,38 = -1,0032
(7 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,17 = -0,2448
(7 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,03 = +0,0288
(8 - 6,2)·(6 - 7,8)·0,21 = -0,6804
(8 - 6,2)·(9 - 7,8)·0,19 = +0,4104

Die Summe ist -1,41.

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Wie kommt man auf die 6,2 und 7,8?

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Das sind die Erwartungswerte E(X), bzw. E(Y).
Z.B. ist E(Y) = 6·P(Y=6) + 9·P(Y=9) = 6·0,4 + 9·0,6 = 7,8.
Siehe dazu auch weiter oben.