Aus einer Parameterdarstellung einer Geraden eine Geradengleichung herleiten

Question

Hi,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe.

 

Entwickle ein Verfahren wie aus einer Parameterdarstellung einer Geraden eine zugehörige Geradengleichung herleiten können. Und umgekehrt.

G = ⟨v+λw  Ι   λ ∈ℝ⟩ => Parameterdarstellung

G = ⟨(x₁, x₂) ∈ℝ²   Ι   α₁x₁ + α₂x₂ = b⟩

 

Die Gerade geht durch die zwei Punkte P (1,1) und Q (-2,0).

Die Parameterdarstellung habe ich schon mal hergeleitet, und zwar:

G: x = (1,1) + λ (-3,-1).

 

Jedoch weiß ich nicht wie ich daraus die Geradengleichung herleiten soll und umgekehrt.

 

Answer 1

Du hast die Parametergleichung

g: X = [v1, v2] + r * [w1, w2]

Ich brauche jetzt einen Normalenvektor der zu dem ersten Richtungsvektor senkrecht steht. Das ist recht einfach. Ich vertausche die Komponenten und kehre von einer Komponenten das Vorzeichen um

Senkrecht zu [w1, w2] ist [w2, -w1]

Jetzt multipliziere ich X = [v1, v2] auf beiden Seiten mit dem Normalenvektor.

X * [w2, -w1] = [v1, v2] * [w2, -w1]

Ich erhalte

w2*x - w1*y = v1*w2 - v2*w1

Ich wende das mal auf deine Parameterform an

g: X = [1, 1] + r * [-3, -1]

(-1)*x - (-3)*y = (1)*(-1) - (1)*(-3)
- x + 3·y = 2

Comments

danke für deine tolle Antwort.

Kann man aber auch -x+3y = 2 die Parameterform herleiten?


Danke

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Ich würde zunächst y = 0 setzen und erhalte x = -2. Daher ist ein Punkt [-2, 0]

Dann setze ich x = 0 und erhalte y = 2/3. Daher ist ein Punkt [0, 2/3]

Nun kann man zwischen den Punkten eine Geradengleichung aufstellen.

[-2, 0] + r * [2, 2/3]

Jetzt könnte man den Richtungsvektor noch normieren durch Multiplikation mit 3/2.

[-2, 0] + r * [3, 1]

Damit hast du dann eine Geradengleichung in Parameterform.