Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte B(8,6,0) C(2,8,0) und S(4,6,6)?

Question

Aufgabe:

Die Punkte B(8,6,0) C(2,8,0) und S(4,6,6) liegen vor. Bilden Sie aus diesen Punkten eine Koordinatengleichung und die Achsenabschnittspunkte der Ebene E durch diese genannten Punkten.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, ein lineares Gleichungssystem mit diesen Punkten auszustellen aber ich kann dieses irgendwie nicht auflösen.

Comments

Schau dir jeweils auch die Rubrik "ähnliche Fragen" an Bsp. https://www.mathelounge.de/89729/von-parametergleichung-zu-koordinatengleichung-ebene und kommentiere, falls du eine eigene Idee zu deiner Frage hast.

Answer 1

\( \vec{SC} \) =\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \). \( \vec{SB} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \)

Dann ist eine Ebenengleichung in Parameterform \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) . Damit gelingen die Komponentengleichungen. Die Achsenabschnittsform erfordert zuerst ein Durchmultipizieren der Parameterforrm mit einem Normalenvektor, z.B. \( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \). So erhält man die Normalenform und daraus die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform.

Comments

Ich habe nun die Gleichungen aufgestellt. Wie muss ich diese auflösen?

x=4-2r+4s

y=6+2r

z=6+6r-6s

Sorry bin nicht mehr so begabt im Gleichungen lösen....

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Deine Gleichungen sind richtig. aber wir haben beide übersehen, dass sie gar nicht verlangt sind.

Bilden Sie aus diesen Punkten eine Koordinatengleichung und die Achsenabschnittspunkte der Ebene E.

Die Parameterform ⎛⎝⎜xyz⎞⎠⎟ =⎛⎝⎜466⎞⎠⎟ +r·⎛⎝⎜−22−6⎞⎠⎟ +s·⎛⎝⎜40−6⎞⎠⎟  muss mit einem Normalenvektor, z.B. ⎛⎝⎜392⎞⎠⎟ durchmultipliziert werden. So erhält man die Normalenform und daraus die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform. Aus der Achsenabschnittsform liest man die Achsenabschnittspunkte ab.

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Was heisst durchmultiplizieren?

Was muss ich nach diesem Verfahren tun, damit ich auf die Normalenform komme?

Könnten Sie für mich eine Musterlösung erstellen?

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Multipliziere (skalar) jeden Vektor in der Gleichung

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) mit dem Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \).Da der Normalenvektor auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehtm werden zwei Produkte auf der rechten Seite 0. \( \begin{pmatrix} 4\\6\\6 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \) =4·3+6·9+6·2=78 und die Normalenform heißt: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\9\\2 \end{pmatrix} \) =78. Dann ist die Koordinatenform 3x+9y+2z=78 und die Achsenabschnittsform \( \frac{x}{26} \) +\( \frac{y}{8,66} \) +\( \frac{z}{39} \)=1. Die Punkte der Ebene auf den Achsen sind dann (26|0|0),  (0|8,66|0) und (0|0|39).

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Herzlichen Dank für diese hilfreiche Antwort. Wie haben Sie diesen Normalenvektor bestimmt?

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Eine Möglichkeit ist das Vektorprodukt der Richtungsvektoren:

\( \begin{pmatrix} -2\\2\\-6 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} 4\\0\\-6 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -12\\-36\\-8 \end{pmatrix} \) . Ich habe diesen Vektor noch durch -4 dividiert, um einen kollinearen Vektor mit kleineren Zahlen zu erhalten.

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Ah super. Herzlichen Dank :)