Wie kann ich das Gesamtvolumen der Kugeln im Würfel berechnen?

Question

Aufgabe:

In einem Würfel mit der Kantenlänge a liegen zwei gleichgrosse Kugeln, die sich gegenseitig und je drei der Würfelflächen berühren. Berechnen Sie das Gesamtvolumen der beiden Kugeln als Ausdruck von a.

Problem/Ansatz:

Ich sehe keinen Zusammenhang, um das Volumen zu berechnen.

Vk = 4/3*r^3*pi

Woher bekomme ich den Radius der Kugel?!

Answer 1

Die Aufgabenstellung ist unvollständig, denn die Kugeln könnten beide die Vorderflächen und die unten liegende Fläche berühren, dann außerdem je eine Kugel noch die linke bzw. die rechte Begrenzungsfläche.

Wenn es dagegen um größtmögliche Kugeln geht, dann liegen beide Kugelmittelpunkte auf einer der Raumdiagonalen, und die gegenseitige Berührung der Kugeln erfolgt genau im Würfelmittelpunkt.

Im ersten Fall haben beide Kugeln den Radius a/4.

Für den Radius r im zweiten Fall gilt a√3 = 2r +2r√3

Comments

Die Lösung ist: a^3/4*pi*(9-5Wurzel3)

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Das ist schön für die Lösung.

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Wie kommst du auf 2r + 2rWurzel3

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Siehe Abbildung:

Sie ist zwar nicht sonderlich gelungen, denn der in der hinteren oberen Ecke befindliche Quader ist real ein Würfel.

Mache dir klar, dass die blaue Strecke r ist und die rote Strecke r√3.

(Stichwort: Raumdiagonale eines Würfels.)

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Jetzt habe ich es verstanden, aber wie bist du auf diese Zeichnung gekommen? Ich wäre nie auf das gekommen. Wie weisst du, dass du das auf der Raumdiagonalen zeichnen musst?

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Wie weisst du,

Das weiß ich nicht, denn bis jetzt habe ich von dir keine Rückantwort bekommen, ob die beiden Kugeln nicht doch  einfach nur nebeneinander am Fußboden und an der Vorderwand kleben.

Aber für den Fall, dass sie so groß wie möglich sein sollen, müssen sie den Innenraum (z.B. von vorn rechts nach hinten links) optimal ausnutzen.

Und dann liegen die Mittelpunkte auf der Raumdiagonalen, und dann berühren sie sich direkt im Mittelpunkt. Aber sie kommen halt nicht bis in die letzte Würfelecke, weil sie rund sind. Sie haben damit zu allen drei Berührungsflächen einen Abstand, der ihrem Radius entspricht.

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Ich kann dir deine Frage nicht beantworten, da ich das nicht weiss, aber mit deinem Ansatz kam ich auf die richtige Lösung, was daraus schließen lässt, dass dein Ansatz richtig war.

Ich danke dir mein Freund!