Warum funktioniert diese vollständige Induktion?

Question

Folgende Aufgabe:

7²ⁿ - 2ⁿ ist durch 47 teilbar für n ≥ 0.

Lösung:

Induktionsanfang:
n = 0: 7⁰ - 2 ⁰ = 0 ist durch 47 ohne Rest teilbar.

Induktionsschluss aus der offiziellen Lösung:

7²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2ⁿ⁺¹

= 7²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹

= 7²ⁿ * 7² - 2ⁿ * 2¹

= 49 * 7²ⁿ - 49 * 2ⁿ + 47 * 2ⁿ

= 49(7²ⁿ - 2ⁿ) + 47 * 2ⁿ

Was ich nicht verstehe ist, wo die 49 * 2ⁿ und die 47 * 2ⁿ auf einmal herkommen. Könnte mir das bitte jemand erklären? :)

Vielen Dank für eure Zeit!

Answer 1

wo die 49 * 2n und die 47 * 2n auf einmal herkommen.

= 7²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹

= 7²ⁿ * 7² - 2ⁿ * 2¹
=7²ⁿ·49 - 2n·2

=7²ⁿ·49 - 2ⁿ·(49 - 47)           denn 49- 47 =2
= 49·7²ⁿ - 49 * 2ⁿ + 47 * 2ⁿ  Minuszeichen vor der Klammer macht + aus -.

Kommutativ- und Distributivgesetz

Comments

Danke. Das habe ich verstanden. :)

Answer 2

Hi,

mal andersrum gezeigt:

$$-49\cdot2^n + 47\cdot2^n = 2^n\cdot(-49+47) = 2^n\cdot(-2) = -2^n \cdot 2^1$$

Alles klar? ;)

Grüße