Ist jede Zahl die Differenz zweier Quadrate?

Question

Ist der Beweis korrekt:

Sei n eine beliebige Zahl dann gilt:


n = (n+1)²/4-(n-1)²/4


Ein Quadrat q² dividiert durch 4 ist stets ein Quadrat


Daraus folgt jede Zahl ist die Differenz zweier quadrierter Zahlen

Answer 1

$$n = \frac{(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2}{4}$$

$$n = \frac{(n+1)^2 \cdot 4 - (n-1)^2 \cdot 4}{16}$$

$$n = \frac{4 \cdot (n^2 + 2n + 1 - (n^2 - 2n + 1))}{16}$$

$$n = \frac{16n}{16} = n$$

Die Gleichung stimmt also.


$$\frac{q^2}{4} = (\frac{q}{2})^2$$

Also q^2 / 4 ist das Quadrat von q/2.

Answer 2

Beachte: Wenn du eine Quadratzahl durch 4 dividierst, bekommst du nur dann eine natürliche Zahl, wenn die quadrierte Zahl eine gerade Zahl war. D.h. in deiner Gleichung, dass n ungerade ist.

n = (n+1)²/4-(n-1)²/4

Bsp. 5 = 3^2 - 2^2  ok.

Aber
6 = 7^2/4 - 5^2/4 = 3.5^2 - 2.5^2             Diese beiden Quadrate sind keine 'Quadratzahlen' im gewöhnlichen Sinn.

Answer 3

Solange du rationale Zahlen, also auch Brüche zulassen möchtest ist das sicher so richtig.

2 = (3/2)^2 - (1/2)^2

Aber du könntest auch reelle Zahlen zulassen.

2 = (√3)^2 - 1^2

Die Frage ist ob man den Bereich der Zahlen nicht eventuell auf die natürlichen Zahlen (inkl. 0) beschränken sollte.

Comments

Beschränken auf Zahlen aus N?


Warum sollte man das machen?


Der Beweis ist allgemeingültig also universal!

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Weil es sonst für
z = a^2 - b^2

a^2 = z + b^2

a = √(z + b^2)

unendlich viele Lösungen gibt, wenn man z.B. auch reelle Zahlen erlaubt.

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Wo liegt darin das Problem?

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Das ist kein Problem. Im Gegenteil. Das ist sehr einfach. Problematisch wird es erst wenn für a und b natürliche Zahlen eingesetzt werden sollen.
Und das ist es womit sich Mathematiker beschäftigen. Nicht die offensichtlichen Dinge sondern eher die etwas schwierigeren Probleme.

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Du meinst so etwas n aus N


n=(ab)
4ab = (a+b)²-(a-b)²


oder n = 2a+1


in 4n=(n+1)²-(n-1)²

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Oder so etwas:


2n = (n+a) + (n-a)


b= (n+a) aus Primzahlen

c= (n-a) aus Primzahlen

Answer 4

Ein Quadrat q² dividiert durch 4 ist stets ein Quadrat

Bist du sicher?
Versuch's mal mit q = 7 : Ist q ² / 4  = 49 / 4 eine Quadratzahl?

Außerdem steht in der Behauptung etwas ganz anderes, nämlich:

Jede natürliche Zahl n kann dargestellt werden als die positive Differenz der jeweils durch 4 dividierten Quadrate ihrer beiden Nachbarzahlen.

Beispiel: 6 = ( ( 6 + 1 ) ² / 4 ) - ( ( 6 - 1 ) ² / 4 ) = ( 49 / 4 ) - ( 25 / 4 ) = ( 24 / 4 ) = 6

So etwas beweist man immer gern mit der Vollständigen Induktion:

Induktionsanker:

Für n = 1 gilt die Behauptung, denn:

1 = ( ( 1 + 1 ) ² / 4 ) - ( ( 1 - 1 ) ² / 4 ) = ( 4 / 4 ) - ( 0 / 4 ) = 4 / 4 = 1

Induktionsvoraussetzung:

Gelte für ein festes m ≥ 1:

m = ( ( m + 1 ) ² / 4 ) - ( ( m - 1 ) ² / 4 )

Behauptung: Dann gilt für m + 1 :

m + 1 = ( ( m + 2 ) ² / 4 ) - (  m ² / 4 )

Beweis:

Zeige unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, dass die Behauptung gilt:

( ( m + 2 ) ² / 4 ) - (  m ² / 4 )

= ( m ² + 4 m + 4 ) / 4 - ( m ² / 4 )

= ( ( m ² + 2 m + 1 + 2 m + 3 ) / 4 ) - ( ( m ² - 2 m + 1 + 2 m - 1 ) / 4 )

= ( ( m + 2 ) ² / 4 ) - (  ( m - 1 ) ² / 4 ) + ( ( 2 m + 3 )  / 4 ) - ( ( 2 m - 1 ) / 4 )

Gemäß Induktionsvoraussetzung ist ( ( m + 2 ) ² / 4 ) - (  ( m - 1 ) ² / 4 ) = m , also:

= m +  ( ( 2 m + 3 )  / 4 ) - ( ( 2 m - 1 ) / 4 )

= m + ( 2 m + 3 - 2 m + 1 ) / 4

= m + ( 4 / 4 )

= m + 1

q.e.d

 

Damit gilt wegen des Axioms von der Vollständigen Induktion die ursprüngliche Behauptung

n = ( ( n + 1 ) ² / 4 )- ( ( n - 1 ) ² / 4 )

Comments

Wo steht etwas von natürlichen Zahlen in der Frage?


Wo steht etwas von Quadratzahlen in der Frage?


n ist irgendeine Zahl Punkt!