Bestimme Gruppe/Monoide/Halbgruppe

Question

Aufgabe:

Bestimmen von Halbgruppen/Gruppen/Monoide

Problem/Ansatz:

Mir fehlt das grundlegende Verständnis, wie man sowas am besten angeht.
Man stelle sich vor, ich habe folgende Angabe:

x ◦ y = x+2y     (ℚ,◦)

Kann mir bitte jemand erklären, wie man die einzelnen Schritte macht?

z.B zur Überprüfung auf Halbgruppe

(x◦y)◦z = x◦(y◦z)

dann einsetzen

(x◦2y)◦z = x◦(2y◦z)

x+2y+z = x+2y+z

Daraus folgt Halbgruppe ?

Glaube aber, dass da was nicht stimmt, bei meinem Gedanken die Sachen einfach so einsetzen zu dürfen.

Vielen Dank für eine Erklärung!

Answer 1

\(\begin{aligned} \left(x\circ y\right)\circ z & =\left(x\circ y\right)+2z\\ & =\left(x+2y\right)+2z\\ & =x+2y+2z\\\\ x\circ\left(y\circ z\right) & =x+2\left(y\circ z\right)\\ & =x+2\left(y+2z\right)\\ & =x+2y+4z\\ & \neq x+2y+2z \end{aligned}\)

Also ist \(\circ\) nicht assoziativ.

Comments

danke für deine Antwort - hätte eine Frage, wie man auf den 2er beim z kommt in der ersten Zeile? Welche Regeln gibt es denn da?
Vielen Dank für deine Hilfe..

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Laut Definition von ◦ ist

        a ◦ b = a + 2b.

Setze a = (x◦y) und b = z ein.

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Ahhh, danke, alles verstanden!

Answer 2

Hallo

 ja, du musst einfach einsetzen, aber wie du das gemacht hast verstehe ich nicht.

wie kommst du von (x◦y)◦z = x◦(y◦z)

auf (x◦2y)◦z = x◦(2y◦z)? und dann dien Ergebnis?

du hast doch (x◦y)◦z=(x+2y)◦z=x+2y+2z

x◦(y◦z)=x◦(y+2z)=x+2*(y+2z)=x+2y+4z

du hast die Definition von x◦y nicht wirklich verwendet.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Den ersten Schritt kann ich verstehen -> in das (x◦y)◦z einfach mal die Angabe für (x◦y) einsetzen, dann habe ich (x+2y)◦z. Wie man auf das weitere kommt, ist mir nicht ganz klar...
Wie genau darf ich den Ausdruck nun mit z verknüpfen?

Vielen Dank!!!