Halbgruppen, Monoide etc. mit Funktionsvorschrift

Question

ich bin mir nicht sicher, wie ich ein inverses oder neutrales Element bilden darf, wenn eine Rechenvorschrift gegeben ist.

Aufgabentyp ist, dass ich bestimmen soll, ob es sich bei einer gegebenen Verknüpfung um eine Halbgruppe,Monoid etc handelt.

Folgendes kann ich selbst:Frage: Die Menge der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung:
assoziativ → Halbgruppe
neutrales Element existiert:1 → Monoid
Inverses Element existiert: n * 1/n ( 0 soll nicht in der Menge der positiven Mengen enthalten sein)= neutrales Element
--> Gruppe.

Was ich nicht hinbekomme: Frage: (Z = ganze Zahlen) Die Menge Z zusammen mit der Verknüpfung *: ZxZ-->Z gegeben durch a*b:=|a+b| (Betrag von a + b) ist... 
A)Halbgruppe B) Monoid etc
Ich verstehe nicht, inwiefern mich die Funktionsvorschrift beeinflusst. Muss ich mein neutrales Element zB aus der Menge |a+b| nehmen, oder aus der Menge der ganzen Zahlen? Inverses Element müsste ja eine negative Zahl sein, kann ich die nehmen oder ist Sie aufgrund von |a+b| außerhalb meiner erlaubten Menge?

Answer 1

Neutrales Element e im Allgemeinen:

        a*e = e*a = a für alle a aus der Gruppe.

Neutrales Element e im Speziellen bei ℤ mit a*b:=|a+b|:

        |a+e| = |e+a| = a für alle a aus den ganzen Zahlen.

Gibt es eine solche ganze Zahl e? Falls du glaubst, dass du eine gefunden hast, dann prüfe ob

        |3 + e| = 3

und

        |-2 + e| = -2

ist

aus der Menge |a+b| nehmen

|a+b| ist keine Menge.