Erläutere den Zusammenhang zwischen den Ableitungen und der Sinusfunktion

Question

Aufgabe: Es sollten die ersten 3 Ableitungen dieser Sinusfunktion gebildet werden:

f(x)= a*sin(b*x+c).

(  * =  multiplizieren  )

Problem/Ansatz: Das habe ich ohne Probleme gemacht jedoch weiß ich nicht welchen Zusammenhang dies ergibt bzw. was ich mit den Ableitungen anfangen kann( oder was auch immer mit der Frage gemeint ist).

Würde mich sehr über schnelle Hilfe freuen :)

Answer 1

f(x) = a·SIN(b·x + c)

f'(x) = a·b·COS(b·x + c)

f''(x) = - a·b^2·SIN(b·x + c)

f'''(x) = - a·b^3·COS(b·x + c)

Die erste Ableitung ist gegenüber der Ursprungsfunktion mit dem Faktor b in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht. und um eine viertel Periode nach links verschoben.

Die zweite Ableitung ist gegenüber der Ursprungsfunktion mit dem Faktor b^2 in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht. und um eine halbe Periode nach links verschoben.

Die dritte Ableitung ist gegenüber der Ursprungsfunktion mit dem Faktor b^3 in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht. und um eine dreiviertel Periode nach links verschoben.

Answer 2

Die Sinusfunktion ist eine zyklische/periodische Funktion.

Was passiert z.B. bei \(\dfrac{d^4}{dx^4}[\sin(x)]\) und inwiefern stehen der Sinus und Kosinus in Verbindung?

Comments

Dieser Impuls ist grundsätzlich begrüßenswert, aber nur für den Spezialfall b=1

(bei a*sin(b*x+c))  auf Anhieb vernünftig nutzbar.

Answer 3

Fangen wir an:

Was stellst du beim Vergleich deiner Sinusfunktion mit ihrer zweiten Ableitung fest?

Comments

bei der 2. Ableitung ist die Funktion um 1 nach unten verschoben also auf der y- Achse.

wenn man für alles jeweils 1 einsetzt

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bei der 2. Ableitung ist die Funktion um 1 nach unten verschoben also auf der y- Achse.

Nein, ist sie nicht.

Sie ist (je nach Größe von b) gestreckt oder gestaucht und zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt.

Ich vermute einen Fehler in deinen Ableitungen. Wie lauten diese bei dir?

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= -ab(hoch2)*sin(bx+c)

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Gut. Im Vergleich zur Ausgangsfunktion ist also in der zweiten Ableitung zusätzlich der Faktor -b² aufgetaucht.

Das ergibt eine Kombination aus Spiegelung und Streckung (bzw. Stauchung), aber keinesfalls (auch nicht für "alles 1 eingesetzt") eine Verschiebung in y-Richtung..

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okay danke und was ergeben die erste und die dritte Ableitung ? und kann man mit den Ableitungen wie gehabt z.B die Extremstellen der Ausgangsfunktion berechnen ?