Beweis bzgl. des Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , P)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Aussagen für einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω  , P):

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines von den Ereignissen A, B ⊆ Ω eintritt, ist gegeben durch

$$ \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-2 \mathbb{P}(A \cap B) $$

Problem/Ansatz:

Einen schönen guten Morgen.

Ich soll den oberen Ausdruck beweisen, nur weiß ich nicht genau wie, denn es ist ja keine "Gleichung".

Vlt könnt ihr mir einen Tipp (keine Musterlösung) geben, damit ich etwas mit dem oberen Ausdruck anfangen kann. Es läuft doch auf Mengenumformungen hinaus, oder liege ich falsch?

Edit:

Ich glaube man muss vorher noch etwas mit der Frage tun $$ P\left(\left(A \cap B^{c}\right) \cup\left(A^{c} \cap B\right)\right) $$

dies hier würde ja "dass genau eines von den Ereignissen A, B ⊆ Ω eintritt" entsprechen?

Answer 1

Hi Slicer,

du siehst das richtig. Deine Aufgabe ist es zu zeigen:

$$ P((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Beachte hierzu folgende Tipps:

Tipp 1: \(A \cap B^c\) und \(A^c \cap B^c\) sind disjunkt

Tipp 2: \(A \cap B^c = A\setminus B \)

Gruß,

Yakyu

Comments

Dankeschön ich habe es hinbekommen.