Vollständige Induktion 2n+1<=2^n

Question

die Aufgabe soll mit der vollständigen Induktion gelöst werden.

 

2n+1 <= 2ⁿ

 

Als Induktionsanfang hab ich n=3 gewählt:

2*3+1 <= 2³

7<=8

 

Jetzt ist mein Problem der Induktionsschritt, hoffe mir kann jemand helfen.

Der Ansatz n=n+1 ist mir klar.

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aus Duplikatsfrage:

wir sollen bestimmen, für welche n∈N die Ungleichung 2n+1 ≤ 2ⁿ gilt mit Hilfe der vollständigen Induktion. Als Zusatz ist angegeben, dass die Aussage 2k ≥ k+2 für k ≥ 2 verwendet werden darf.

Als Induktionsanfang habe ich n=3 als kleinstes n gewählt (die 0 erhält dann denke ich mal noch "Sonderstatus"?).

Beim Umformen der Ungleichung mit n=k auf n=k+1 komme ich jedoch nicht auf einen grünen Zweig. Dies ist mein bisheriger Stand:

2(k+1)+1 ≤ 2^k+1

2k+2+1 ≤ 2^k * 2

Answer 1

2(n+1) + 1 <= 2^{n+1}
2n + 1 + 2 <= 2 * 2^n

Wenn 2n + 1 <= 2^n darf ich es durch 2^n ersetzen

2^n + 2 <= 2 * 2^n
2 <= 2^n

Das ist für n >= 1 erfüllt.

Comments

Also ist meine Lösung dass es für die natürlichen Zahlen >=1 erfüllt ist?

Aber die Ungleichung stimmt doch erst ab n=3.

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Der Induktionsschritt würde für n >= gelten. Der Ansatz gilt erst ab 3. Die Lösung ist die Schnittmenge also die Zahlen n >= 3.

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So würde ich das nicht unterschreiben, also die Lösung i

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IA: offensichtlich

IV: 2n+1<=n^2

IB: 2(n+1)+1<=n^2

IS: n -> n+1:

2(n+1)+1=2n+1+2<=n^2+2 (IV)

2(n+1)+1<= n^2+2 <=n^2+2n+1 (n>=3)

2(n+1)+1<=(n+1)^2

=> IB stimmt. Dh aus A(n) stimmt für n folgt dass es auch für n+1 stimmt

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Warum ist bei dir aus dem 2^n ein n^2 geworden? Welche Vereinfachung wendest du da an?