Aufgabe im Matheunterricht: Steckbriefaufgabe Klasse 12 Fachabitur Informatik

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur f(x) - Achse ist. Weiterhin hat sie im Wendepunkt, dessen Tangente im Wendepunkt durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft.

Problem/Ansatz:

Da es eine Funktion 4. Grades ist und sie Achsensymmetrisch ist muss die Funktion so aussehen:

f(x) = ax⁴ + cx² + e

f'(x) = 4ax³ + 2bx

f''(x) = 12ax² + 2b

Nur ab da komme ich nicht mehr weiter. Brauche schnellstmöglich Hilfe.

Ps.: Mehr als diese Aufgabenstellung wurde nicht gegeben.

Comments

hat sie im Wendepunkt

Ist im korrekt? So macht der Satz keinen Sinn bzw. ist unvollständig.

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Weiterhin hat sie im Wendepunkt, dessen Tangente im Wendepunkt durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft.

Der Satz ergibt so keinen Sinn.

Bitte den Originalwortlaut einmal einstellen.

So
Weiterhin hat sie einen Wendepunkt dessen Tangente durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft.
???

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Vielleicht macht deinem Programm auch das e als Variable Probleme.

Vgl. https://www.mathelounge.de/623747/steckbriefaufgabe-polynom-grades-macht-wolframalpha-diesem

Ersetze mal e durch f und lass das Programm nochmals rechnen.

Answer 1

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

die symmetrisch zur f(x) - Achse ist

b = d = 0.

Weiterhin hat sie im Wendepunkt

Der Wendepunkt sei (x_w | y_w). Es muss f''(x_w) = 0 sein,

Wegen

        f''(x) = 12ax² + c

muss also

(1)        0 = 12ax_w² + c

gelten.

Tangente im Wendepunkt

Die hat die Steigung

(2)        m = f'(x_w) = 4ax_w³ + 2cx_w.

Außerdem hat die bei x_w  den Funktionswert

(3)        y_w = f(x_w) = ax_w⁴ + cx_w² + e

durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft.

Dann ist die Funktionsgleichung der Tangente

        t(x) = mx

Wegen (2) ist also

        t(x) = (4ax_w³ + 2cx_w)x.

Wegen (3) ist darüber hinaus

        t(x_w) = y_w

Also

(4)        ax_w⁴ + cx_w² + e = (4ax_w³ + 2cx_w)x_w.

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1) und (4).

Es gibt mehrere Lösungen, zum Beispiel

        f₁(x) = x⁴ - 6x² - 3

und

        f₂(x) = x⁴ - 3/2 x² - 3/16.

Comments

Vielen dank für Ihre Antwort. Leider habe ich ein Problem beim Aufstellen des Gleichungssystems aus den Gleichungen (1) und (4). Ich komme immer auf keine Lösung.

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Ich weiß nicht, warum du bei dem Gleichungssystem

(1)        0 = 12ax_w² + c

(4)        ax_w⁴ + cx_w² + e = (4ax_w³ + 2cx_w)x_w.

keine Lösung bekommst. Wie sieht deine Rechnung aus?

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Ich vereinfache Gleichung (4) zu -3ax_w⁴ - cx_w² + e = 0

dann schreibe ich sie als Koeffizientenmatrix auf, Reihenfolge der Variablen: a,c,e,konstante.

-3 - 1 + 1 = 0
12 + 1 + 0 = 0

und wende dann den Gaußverfahren an.

ich glaube ich habe einfach einen riesen Denkfehler.

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und wende dann den Gaußverfahren an.

Das Gaußverfahren ist für lineare Gleichungssysteme gedacht.

Das gegebene Gleichungssystem ist nicht linear, weil Variablen miteinander multipliziert werden. Die Variablen sind a, c, e und x_w.

Verwende stattdessen das Einsetungsverfahren.

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Leider kriege ich hierfür auch keine Lösung.

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Einsetzungsverfahren:

1. Stelle eine Gleichung nach einer Variable um.
   
2. Setze in alle anderen Gleichungen ein.
3. Zurück zu 1. falls noch nicht alle Gleichungen umgestellt wurden.
   

Ich empfehle, das von Hand zu machen. Falls du beim Umstellen Probleme hast, dann kannst du Gleichung freistellen verwenden. Einsetzen musst du aber selbst.

Wenn du als dritte Gleichung

       y_w = ax_w⁴ + cx_w² + e

hinzunimmst, dann kannst du a, c und e in Abhängigkeit von den Koordinaten des Wendepunktes bestimmen.

https://ggbm.at/dyuvt9m4

Answer 2

Die Skizze zeigt symbolisch
- eine Funktion f
und die Tangente am Wendepunkt
die durch ( 0 | 0 ) geht

Der Clou an der Aufgabe ist das es nicht nur EINE Funktion
gibt sondern beliebig viele.
Willkürlich  festgelegt
e = 1
x = 1 ( Stelle Wendepunkt )


Es ergibt sich
f ( x ) = -1/3 * x^4 + 2 * x^2 + 1
( im handschriftlichen muß es heißen : 2x^2 )
f ´( 1 ) = 8/3 ( Steigung am Wendepunkt / der Tangente )
t ( x ) = 8/3 * x

Die Aufgabe hat aber eine Menge Gehirnschmalz gekostet.

mfg Georg

Answer 3

f(x) = ax⁴  + cx² + e,   a≠0

f'(x) = 4ax³ + 2cx

f''(x) = 12ax² + 2c

Soweit ist das ok, ich habe b in den Ableitungen durch c ersetzt.

Mögliche Wendestellen als Nullstellen der zweiten Ableitung: $$x=\pm\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}$$An dieser Stelle stellt sich die Frage, wie a und c beschaffen sein müssen, damit diese Stellen existieren und auch tatsächlich Wendestellen sind. Beispielsweise muss c≠0 sein, da ansonsten beide Stellen zusammenfallen und eine Extremstelle statt zwei Wendestellen bilden.

Die Tangentengleichungen lauten: $$t_1(x) = -f'\left(\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)\cdot\left(x+\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)+f\left(-\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)$$ und $$t_2(x) = f'\left(\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)\cdot\left(x-\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)+f\left(\sqrt{\dfrac{-c}{6a}}\right)$$ Da die Tangenten durch den Ursprung gehen, liefert die Bedingung \(t_2(0)=0\) weitere Einschränkungen.

Ob es einen einfacheren Zugang gibt, weiß ich nicht.