Prüfen Sie ob das Schaubild von f(x)=1/4x^4-x^3+4x-2 an der Stelle x=2 einen Tiefpunkt hat

Question

Aufgabe:

Mir ist klar mit den Ableiten aber wie soll ich es zeigen??

Answer 1

Hi,

bilde die ersten Ableitungen. Dann kannst Du x = 2 einsetzen und überprüfen ob die Bedingungen für ein Minimum erfüllt sind.

f(x) = 1/4*x^4 - x^3 + 4x - 2

f'(x) = x^3 - 3x^2 + 4

f''(x) = 3x^2 - 6x

f'''(x) = 6x - 6

f'(2) = 8 - 12 + 4 = 0

f''(2) = 3*4 - 6*2 = 0

f''(2) = 12 - 6 = 6

Wegen f''(x) = 0 und f'''(x) = 6 liegt bei x = 2 kein Minimum vor, sondern ein Wendepunkt (wegen f'(2) = 0 sogar ein Sattelpunkt, also ein spezieller Wendepunkt).

Grüße

Comments

Wieso bildet man die 3Ableitung?

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Es ist absolut notwendig, dass f'(2) = 0 gilt, damit ein Tiefpunkt vorliegen kann.

Man kann dies mit der zweiten Ableitung überprüfen. Ist diese ungleich 0, dann liegt ein Extrempunkt vor (für f'(2) > 0 hätten wir den Tiefpunkt gehabt). Da diese aber 0 ist, muss man noch weiter überprüfen. Wäre nun auch f''(2) = 0, wie auch f'''(2) = 0, aber f''''(2) > 0, dann hätten wir doch noch einen Tiefpunkt gehabt. Das wäre bspw für

g(x) = (x-2)^4 der Fall.

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Vielen Dank!!

Answer 2

Mir ist klar mit den Ableiten aber wie soll ich es zeigen??

1. Setze in der Ableitung x=2 ein. Da muss 0 herauskommen. (horizontale Tangente wäre bestätigt).

2. Nun noch aussschliessen, dass dort ein Hochpunkt oder ein Terrassenpunkt vorliegt.