Grenzwert x -> 0+ von (1+arctan(x))^1/x

Question

Aufgabe:

Grenzwert von $$\lim _{x \searrow 0}(1+\arctan (x))^{1 / x}$$

Problem/Ansatz:

Hab bisher ein bisschen mit der Gleichung rumgespielt und bin auf:

$$\lim _{x \searrow 0}(1+\arctan (x))^{1 / x}=lim _{x \searrow 0}(e^{(1/n)*ln(1+arctan(x))}$$ gekommen, ich weiß nicht ob das was hilft.

Answer 1

das ist möglich, führt  auf den Grenzwert von ln(1+arctan(x))/x , x-->0. Kann man mit l'hospital lösen.

Ein einfacher Weg ist mit der Taylorreihe von arctan(x) möglich:

es gilt arctan(x)≈x wenn x nahe 0 liegt. Also ist

$$\lim _{x \searrow 0}(1+\arctan (x))^{1 / x}=lim _{x \searrow 0}(1+x)^{1 / x}=lim _{n \to \infty}(1+1/n)^{n}=e$$

Comments

Super, danke für den Tipp mit der Taylor Reihe, dass hatte ich nicht auf dem Schirm.

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Kann jemand die Zwischenschritte erklären? Also wie kommt man auf n geht gegen unendlich?

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Man substituiert x durch den Term 1/n.

Wenn x gegen 0 gehen soll. muss also 1/n gegen Null gehen. Dafür muss das n selbst gegen unendlich gehen.

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wie ist die Regel von l`Hospital hier angewendet???