Trigonometrie Steigungswinkel aus % berechnen. Mit Tangens

Question

Aufgabe:

Die Steigung einer Rampe kann man in Prozent angeben oder mit dem Steigungswinkel. Berechne jeweils die andere Größe.

a) Steigung 25%

b)Steigungswinkel 34°

Problem/Ansatz:

In den Lösungen wird beschrieben, dass man alle Aufgaben mit dem Tangens berechnet. Ich verstehe aber nicht warum ausgerechnet mit dem Tangens.. Warum nicht mit dem Cosinus? Und vor allem, wird das IMMER so gemacht, oder ist das jetzt nur bei dieser Aufgabe speziell so?

Answer 1

Gehen wir von einer geraden Rampe aus, so berechnet sich ihre Steigung \(m\) aus \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Modelliert in einem rechtwinkligen Dreieck wäre dies Gegenkathete / Ankathete.
Nach der Definition des Tangens gilt: \(\tan(\alpha)=\dfrac{\textrm{Gegenkathete }}{\textrm{Ankathete}}\).

Answer 2

Die Steigung im Steigungsdreieck berechnet sich aus

m = Δy / (Δx)

Wenn du dir jetzt auch noch den Steigungswinkel α einzeichnest erkennst du das gilt

tan(α) = Δy / (Δx)

Nanu. Er Tangens und die Steigung sind also gleich definiert und es gilt folgender Zusammenhang

m = tan(α)

a) Steigung 25% = 0.25

α =arctan(0.25) = 14.04°

b)Steigungswinkel 34°

p% = tan(34°) = 0.6745 = 67.45%