Unklarheit zu sup(f(x) + g(x))

Question

Aufgabe:

$$\text { Seien } f, g : D \rightarrow \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}$$$$\begin{array}{r}{\text { Geben Sie (mit Begründung) ein Beispiel für } f \text { und } g, \text { so dass }} \\ {\sup _{x \in D}(f(x)+g(x))<\sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g(x)}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Mein erster Gedanke war, dass kann ja nur gelten, wenn $$sup _{x \in D} f(x) = \pm \infty $$ und $$ sup _{x \in D} g(x) = x$$ (bzw. andersherum) wobei x eine endliche Zahl ist.

In der Lösung ist nun als Beispiel folgendes angegeben: $$\begin{array}{l}{\text { Zum Beispiel } D=[0,1], f(x)=x \text { und } g(x)=-x} \\ {\text { Dann ist } \sup _{x \in D}(f(x)+g(x))=0, \text { aber } \sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g(x)=1+0=1}\end{array}$$

Ich verstehe jetzt nicht warum 0 das sup davon sein soll, weil meiner Meinung sollte in in der Menge {f(x) + g(x)} auch die 1 enthalten sein. Oder habe ich da einen Denkfehler? Und wäre meine obige Lösung ebenfalls valide?

Comments

Die Funktion f + g ist identisch Null.

Answer 1

meiner Meinung sollte in in der Menge {f(x) + g(x)} auch die 1 enthalten sein. Oder habe ich da einen Denkfehler? Ja !

Wenn du irgendein x aus [0,1] hast, etwa 0,5, dann ist ja

f(0,5)+g(0,5) = 0,5 + (-0,5) = 0

Bei jedem anderen x-Wert auch

f(x)+g(x) = x+ (-x) = 0 .

Bei deiner Überlegung kann man ja so nicht recht folgen.

Du musst schon zwei Funktionen angeben, die das widerlegen.

Comments

Ja, habe selber meinen Fehler bemerkt. Dachte man nimmt bei sup(f(x) + g(x)) die Bildmenge von beiden und vereint diese einfach.