Newton Verfahren Aufgabe

Question

F(x) = x³-6x²+4   intervall [0,1]  ich soll beweisen das es nur eine Nullstelle gibt

ich habe das newton verfahren angewendet, und komme gleich auf ein peridoenwert bei 0,88 für 1 eingesetzt.

wenn ich es weiter anwende geht y weg von der 0.

Kann mir jemand weiterhelfen? höre ich jetzt bei 0.88 periode auf?

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Extra: Sturmsche Kette

Answer 1

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 4

f'(x) = 3·x^2 - 12·x = 0 --> x = 0 ∨ x = 4

f(0) = 4 → HP(0 | 4)

f(4) = -28 → TP(4 | -28)

Eine Funktion dritten Grades kann maximal 3 Nullstellen haben. Aufgrund der Extrempunkte und dem Verhalten im Unendlichen kann man jetzt sagen:

Es gibt hier eine Nullstelle im Intervall ]-∞ ; 0[ eine Nullstelle im Intervall ]0 ; 4[ und eine Nullstelle im Intervall ]0 ; 4[

f(0) = 4

f(1) = -1

Damit muss es genau eine Nullstelle im Intervall ]0 ; 1[ geben.

Über das Newtonverfahren könnte man nun alles Nullstellen beliebig genau berechnen.

x = 0.8842506033 [∨ x = -0.7687343052 ∨ x = 5.884483701]

Answer 2

Im Interval [0;1] bekomme ich
x = 0.88425
heraus.

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WolframAlpha auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-6x%5E2%2B4%3D0

Answer 3

die Ableitung   f '(x) =  3·x^2 - 12·x  =  0   für  x₁ = 0  und  x₂ = 4

  diese nach oben geöffnete Parabel f '  hat dann in ]0, 4[ negative Werte

→  die Funktion f ist  in  [0,1] streng monoton fallend  und hat dort deshalb höchstens eine Nullstelle (die von dir gefundene!)

Gruß Wolfgang     

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Hier kannst du deinen Fehler beim Newtonverfahren suchen:

egal wie du den Wert unter 1 rundest, das verfahren sollte funktionieren.