Es sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(x,y\in \mathbb{K}\) Zeigen Sie:
Hier mein Vorschlag für die verschiedenen Aufgaben. Ist das formal so korrekt? Ich finde es gar nicht leicht, solche internalisierten Rechenregeln zu beweisen.
(iv)
Zu beweisen: -(x+y)=(-x)+(-y)
-(x+y)=-1·(x+y) | vgl. (ii) hier
=(-1·x)+(-1·y) | vgl. (ii)
= (-x)+(-y) q. e. d.
(v)
Zu beweisen: (x·y)^{-1}=x^{-1}·y^{-1} mit \(\mathbb{K}\backslash\{0\}\)
(x·y)^{-1}·x·y=1 | Existenz inverser Elemente bzgl. Multiplikation
(x·y)^{-1}·x·y·x^{-1}·y^{-1}=1·x^{-1}·y^{-1}
(x·y)^{-1}·1·1=1·x^{-1}·y^{-1} | Existenz des neutralen Elements bzgl. Multiplikation
(x·y)^{-1}=x^{-1}·y^{-1} q. e. d.
