Extremwertproblem: Wo muss der Punkt P liegen damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?

Question

Aufgabe:

Auf dem Intervall [0;5] ist die Funktion f mit f(x)=e^-x gegeben. Der Punkt P(x/f(x)) mit x>0 und der Ursprung O sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.

Wo muss P liegen damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?

Problem/Ansatz:

Ich würde hier mit der Formel für ein Rechteck arbeiten und diese mit der Funktion in Verbindung setzen.

Leider habe ich keinen genauen ansatz

Comments

                <p><strong>Vom Duplikat:</strong></p>
                <p>Titel: Wo muss P liegen damit der Inhalt des Rechtecks maximal ist? Wie groß ist er dann?</p>
                <p>Stichworte: hochpunkt,rechteck,kurve,achsenparallel,sachaufgabe</p>
             ich weiß, dass ich den hochpunkt berechnen soll aber ich verstehe nicht wie..die komplette Frage irritiert mich..

die komplette frage lautet:

gegeben ist die Funktion f mit f(x)=e^-x . Der Punkt P(x|f(x)) mit x>0 und der Ursprung 0 sind Eckpunkte eines Achsenparallelen Rechtecks.

wo muss P liegen damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?wie groß ist er dann?

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Ist wirklich nach dem Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gefragt oder nach dem Rechteck mit minimalem Flächeninhalt.

Hier der Graph der Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x-x

wie man sieht, wird der Flächeninhalt immer größer je weiter man mit x nach rechts geht. Ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt kann es hier nicht geben, eventuell aber  eines mit minimalem Flächeninhalt ...?

Nun, suchen wir halt erst einmal nach Extremstellen:

Das gesuchte Rechteck hat den Flächeninhalt:

A ( x ) = x * f ( x ) = x * ( e ^ x - x ) = x * e ^ x - x ²

Extremstellen höchstens dort, wo A ' ( x ) den Wert Null annimmt, also:

A ' ( x )  = ( x + 1 ) e ^ x - 2 x = 0

A ' ( x ) hat keine Nullstellen, also auch keine Extremstelle. Es gibt daher weder ein Rechteck mit minimalem noch eines mit maximalem Flächeninhalt.

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Aber die Funktion lautet doch e^-x

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Exponenten musst du in Klammern setzen, damit sie oben sind:

Also f(x) = e^{-x} meinst du?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%29

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Ja,genau..könntest du mir das nochmal erklären an diesem Beispiel?

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Hab ich inzwischen erledigt.

Answer 1

Extremalbedingung:

A(x,y)=x·y

Nebenbedingung:

y=f(x)=e^{-x}

Zielfunktion:

A(x)=x·e^{-x}

A'(x)=e^{-x}+x·(-1)·e^{-x}=-e^{-x}(x-1)

A'(x)=0   notw. Bed.

0=-e^{-x}(x-1)  | Satz vom Nullprodukt

x=1

A''(1)=−0.367879 < 0  ⇒ Max.

Also P(1|f(1)) =>  P(1|1/e)

Comments

Also P(1|f(1)) ⇔ P(1|1/e)

Das Zeichen ⇔ passt hier nicht.

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Sollte => sein, hab mich verklickt

Answer 2

P(x/f(x))

f(x) = e^-x 

A(x, y) = x * y = x * f(x)

A = x * e^-x

A(x) = x* e^{-x}

A'(x) = \( \frac{1-x}{e^{x}} \)

A''(x) = \( \frac{-2+x}{e^{x}} \)

notw. Bed. für Extremstellen: A'(x) = 0

\( \frac{1-x}{e^{x}} \) = 0

x = 1

hinr. Bed.: A''(x) ≠ 0

A''(1) = - \( \frac{1}{e} \) < 0 => Maximum

Für x = 1 ist das Rechteck maximal:

f(1) = \( \frac{1}{e} \)

...wenn der Punkt P(1|\( \frac{1}{e} \)) gewählt wird.

Answer 3

f(x) = e^{-x}

Fläche des Rechtecks

g(x) = x* e^{-x}

g ' (x) = e^{-x} - x*e^{-x}

= (1-x)*e^{-x} = 0

<==> x= 1

g(1) = 1*e^{-1} = 1/e

Skizze: Achsenparalleles Rechteck ist schwarz-, grün-, rot- begrenzt.