Unbestimmte Integrale - Quadratische Ergänzung

Question

Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R mit ∆ := 4b − $a^{2}$ > 0 Folgendes gilt:

$\int\limits_{-∞}^{\infty}$ ($\frac{1}{x^{2}+ax+b}$ )dx = $\frac{2π}{\sqrt{∆}}$

Ich glaub ich brauche quadratische Ergänzung aber ich weiß nicht wie. :(

Answer 1

1/(x²+ax+b)=1/((x-a/2)²+b-(a/2)²)

Jetzt substituiert du zuerst (x-a/2)=z, die Grenzen andern sich nicht, weil oo+-a/2=oo

bleibt.

=1/(z²+b-(a/2)²)

=1/(b-(a/2)² * 1/(z/sqrt(b-(a/2)²))²+1)

Jetzt bleibt noch

z/sqrt(b-(a/2)²)=t zu substituieren, um auf den arctan als Stammfunktion zu kommen.

Du musst noch das Differential andern,

dz=sqrt(b-(a/2)²)dt, die Grenzen bleiben wieder gleich. Dann erhalts du das Endergebnis.

Answer 2

Hallo

 ja, bring den Nenner  durch quadratische Ergänzung (+a²/4-a²/4)  und Division auf die Form  A*(x+B)²+1, dann A*(x+B)² =u substituieren

 und wissen (arctan(u))'=1/(u²+1)

Gruß lul