Unbestimmte Integrale - Quadratische Ergänzung

Question

Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R mit ∆ := 4b − \( a^{2} \) > 0 Folgendes gilt:

\( \int\limits_{-∞}^{\infty} \) (\( \frac{1}{x^{2}+ax+b} \) )dx = \( \frac{2π}{\sqrt{∆}} \)

Ich glaub ich brauche quadratische Ergänzung aber ich weiß nicht wie. :(

Answer 1

1/(x^2+ax+b)=1/((x-a/2)^2+b-(a/2)^2)

Jetzt substituiert du zuerst (x-a/2)=z, die Grenzen andern sich nicht, weil oo+-a/2=oo

bleibt.

=1/(z^2+b-(a/2)^2)

=1/(b-(a/2)^2 * 1/(z/sqrt(b-(a/2)^2))^2+1)

Jetzt bleibt noch

z/sqrt(b-(a/2)^2)=t zu substituieren, um auf den arctan als Stammfunktion zu kommen.

Du musst noch das Differential andern,

dz=sqrt(b-(a/2)^2)dt, die Grenzen bleiben wieder gleich. Dann erhalts du das Endergebnis.

Answer 2

Hallo

 ja, bring den Nenner  durch quadratische Ergänzung (+a^2/4-a^2/4)  und Division auf die Form  A*(x+B)^2+1, dann A*(x+B)^2 =u substituieren

 und wissen (arctan(u))'=1/(u^2+1)

Gruß lul