Beweis, dass f(x)=min (x,y) differenzierbar ist?

Question

Aufgabe:

Korrektur: f(x)=min (x,y)  soll das heissen. Vgl. Kommentar

$$ Wir\quad definieren \quad f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad durch \quad  f(x)= \left\{x_{1},x_{2}\right\}  .\\ A) \quad Beweisen \quad Sie \quad , \quad dass \quad f \quad im \quad Punkt \quad \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  \quad partiell \quad diffenrenzierbar \quad ist \quad und \quad berechnen \quad Sie \quad die \quad partielle \quad Ableitung \quad im \quad Punkt \quad \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \quad .\\ B)\quad Beweisen \quad Sie \quad , \quad dass \quad f \quad im \quad Punkt \quad \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \quad nicht \quad partiell \quad differenzierbar \quad ist \quad .  $$

Comments

Hallo

Was bedeutet denn {x1,x2} für mich ist das kein Ausdruck in R .?

lul

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Ja so ist die Aufgabenstellung geschrieben , ich denke es ist als (x,y) zu verstehen .

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Hallo

(x1,x2) liegt nicht in R sondern in R^2 dann ist f(x) von R^2 nach R^2,  f(x) =x die identische Abbildung , dann stimmen auch die partiellen Ableitungen, aber die sind immer f_x1=(1,0) , f_x2=(0,1) in jedem Punkt. Also ist irgendwas an der aufgäbe falsch.

Gruß lul

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Mengenklammern als Funktionswert in R machen keinen Sinn. Vielleicht heißt es min/max {x_1,x_2}, da würden auch die zu untersuchenden Stellen interessant sein.

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Es kann nicht schaden, statt der Dollarzeichen die Klammern zu nutzen: https://www.matheretter.de/rechner/latex.

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Ja jetzt habe ich meinen kleinen aber feinen Fehler gefunden ;D

f(x)=min (x,y) .

Tut mir leid für die Verwirrung ich hoffe jetzt kann jeder verstehen wie die Aufgabe gestellt ist und mir weiter helfen :) .

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Meinst du vielleicht

f((x,y)^T):= min (x,y) 

?

Answer 1

Studiere im Zweifelsfall schon mal https://www.mathelounge.de/231841/min-x1-x2-partiell-differenzierbar-in-1-0

und https://www.mathelounge.de/25290/wie-zeige-ich-das-punkt-partiell-diff-bar-ist-mein-bsp-max-punkt

In der Fragestellung ist nur von "partiell differenzierbar" die Rede. Warum fragst du in der Überschrift nach "differenzierbar"? Das ist nicht dasselbe.

Comments

Hallo

 für alle Punkte in der Umgebung von (1,0)  also in f(1+-h1,0+-h2 )  0<=h<1 ist min(x,y)=y daraus kannst  du die partiellen Ableitungen sehen.

 in der Umgebung von (1,1) also in (1+h1, 1-h2)  ist f=y in (1-h1,1+h2= ist f=x

 also wieder die partikeln Ableitung hinschreiben.

Gruß lul