(i) für (x,y) [nehme ich mal statt x1, x2] ≠ (0,0) kannst du ja nach den Regeln ableiten und
bekommst als partielle Ableitungen
fx=2x*sin( 1/(x2+y2)) - 2x*cos( 1/(x2+y2)) / (x2+y2) und
fy=2y*sin( 1/(x2+y2)) - 2y*cos( 1/(x2+y2)) / (x2+y2)
Bei (0,0) gehe nach der Def. vor. Also für fx(0,0) betrachte:
$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2 \cdot sin(\frac{1}{h^2})-0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}{h \cdot sin(\frac{1}{h^2})}=0$$
Denn sin(...) ist ja beschränkt.
Also existieren die part. Ableitungen überall.
(ii) mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.