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Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right) & , & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) partiell differenzierbar ist.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) total differenzierbar ist.
(iii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig (partiell) differenzierbar ist.
Hinweis für (ii): Beachten Sie Bemerkung 1.7.2 sowie Satz 1.7.3.

Aufgabe:

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(i) für (x,y)  [nehme ich mal statt x1, x2] ≠ (0,0) kannst du ja nach den Regeln  ableiten und

bekommst als partielle Ableitungen

fx=2x*sin( 1/(x2+y2)) -   2x*cos( 1/(x2+y2)) / (x2+y2)   und

fy=2y*sin( 1/(x2+y2)) -   2y*cos( 1/(x2+y2)) / (x2+y2)

Bei (0,0) gehe nach der Def. vor. Also für fx(0,0) betrachte:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2 \cdot sin(\frac{1}{h^2})-0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}{h \cdot sin(\frac{1}{h^2})}=0$$

Denn sin(...) ist ja beschränkt.

Also existieren die part. Ableitungen überall.

(ii) mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

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(ii) mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Widerspricht das nicht der Aufgabe (iii)?

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