Partiell differenzierbar usw.

Question

Text erkannt:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right) & , & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) partiell differenzierbar ist.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) total differenzierbar ist.
(iii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig (partiell) differenzierbar ist.
Hinweis für (ii): Beachten Sie Bemerkung 1.7.2 sowie Satz 1.7.3.

Aufgabe:

Answer 1

(i) für (x,y)  [nehme ich mal statt x1, x2] ≠ (0,0) kannst du ja nach den Regeln  ableiten und

bekommst als partielle Ableitungen

f_x=2x*sin( 1/(x^2+y^2)) -   2x*cos( 1/(x^2+y^2)) / (x^2+y^2)   und

f_y=2y*sin( 1/(x^2+y^2)) -   2y*cos( 1/(x^2+y^2)) / (x^2+y^2)

Bei (0,0) gehe nach der Def. vor. Also für f_x(0,0) betrachte:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2 \cdot sin(\frac{1}{h^2})-0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}{h \cdot sin(\frac{1}{h^2})}=0$$

Denn sin(...) ist ja beschränkt.

Also existieren die part. Ableitungen überall.

(ii) mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Comments

(ii) mit der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Widerspricht das nicht der Aufgabe (iii)?