DGL lösen mit Anfangswertproblem

Question

Aufgabe:

$$y^{\prime}=4 x^{3} y+e^{x^{4}} \cdot \cos (2 x)$$

y(0)=4

a) Lösen Sie die zugehörige homogene DGL zu der DGL.

b) Verwenden SIe Teil a) um das gegebene inhomogene AWP zu lösen.

Problem/Ansatz:

a) ist kein Problem. Mittels trennung der Variablen habe ich y=e^x^4 raus.

bei b) wollte ich es mittels der Lösungsformel machen. f(x)=4x^3y  g(x)=e^x^4*cos(2x)

ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich g(x) integrieren soll..? substituieren und zweimal partiell integrieren.

Answer 1

falls die Aufgabe so lautet:

Aufgabe siehe Kommentar.

allgemein:

∫ s(x) e^(∫g(x)) dx =∫ cos(2x)dx

Das zu betrachtende Integral laut dann:

∫ cos(2x) dx und es kann durch Substitution z=2x gelöst werden

Ergebnis: (sin(2x))/2 +C

Endergebnis:

$$y(x)=c_{1} e^{x^{4}}+e^{x^{4}} \sin (x) \cos (x)$$

mit AWB:

$$y(x)=e^{x^{4}}(\sin (x) \cos (x)+4)$$

Comments

sei mir bitte nicht böse, aber ich checke es nicht...

∫ s(x) e^(∫g(x)) dx ist ja der zweite Teil der Lösungsformel. Somit ist ja s(x) die Störfunktion und g(x) der homogene Teil. 

Die Störfunktion in der Aufgabe ist doch e^(x^4)*cos(2x). Warum muss ich nun nur den cos(2x) betrachten???

ich sitz mal wieder aufm Schlauch..

Aber grundsätzlich ist mein Ansatz (also aufgabe a) ) richtig oder?

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Weil es in der Formel heißt:

* e^(∫g(x) dx  und diesen Faktor hast Du nicht berücksichtigt, sondern nur mit s(x) gerechnet.

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nochmal für blöde wie mich:

die Formel lautet komplett (ich habe leider f(x) und g(x) als Funktionsbezeichnung):

y=e^(-∫f(x)dx) [∫g(x)*e^(∫f(x)dx)dx+C]

angenommen ich hätte nicht die Aufgabe a) und müsste das AWP direkt lösen, so wäre doch mein

f(x)=4x^3y und meine Störfunktion g(x)=e^(x^4)*cos(2x)

ich würde das integrieren, einsetzten, nach C auflösen usw.

oder was passiert da?? Kannst du mir das bitte zeigen?

Ich blick da überhaupt nicht durch... :-(

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Hinweis:

Du mußt die Aufgabe immer so lösen, wie es der Professor will,

sonst gibt es möglicherweise Punktabzug.

Mit der Lösungsformel geht das so:

So wie diese Aufgabe gestellt wurde ,mußt Du es aber so machen:

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Jetzt hats glaub ich geschnackelt...

Das e^(x^4) kürzt sich raus, da ich ja e^(∫g(x) dx habe, was ja e^(x^4) ist... mensch bin ich doof.. :-(

jetzt versteh ich, warum du immer gesagt hast, dass ich den einen teil nicht beachte.

Aber ich brauch dich bestimmt nochmal ;-)

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Hätte noch ne schnelle Sonntagsfrage :-)

Aufgabe:

xy'+y=x^2

homogene Lösung:

yh=-e^x*c

für yp habe ich -e^x*c(x) und für yp' hab ich -e^x*c(x)+c(x)'*-e^x

Ich komme aber nicht weiter, wenn ich das in die Gleichung einsetze.. WO habe ich den Fehler?

habe die ursprüngliche Gleichung (in die ich yp und yp' einsetzen möchte) in die Form y'+1/x*y=x umgestellt.

Dankeschön!!!

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y_h= C/x

y_p=C(x)/x

y_p'= C'(x)/x -C(x)/x^2

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hättest du mir dazu bitte noch eine komplettlösung? Ich glaub da scheiterts bei mir schon wieder mal am Anfang.

Ich habe, wie oben schon geschrieben, die aufgabe umgestellt nach y'+1/x*y=x

den linken Term =0 gestezt und mit variation der konstanten aufgelöst..

>> daher kommt mein yh=-e^x*c

Nach was muss ich denn die Aufgabe sortieren um sie Null setzten zu können für die hmogene Lösung? gibt es da eine einheitliche Regel? klar, in den homogenen teil und die Störfunktion. Wie kann ich das exakt erkennen?

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ln|y|= -ln|x|+C | e hoch

|y|= e^(-ln|x|+C)

y_h=1/x *C