Gegeben ist:
\(a_{0} = \frac{1}{2} \) und \(a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}.\)
Zu zeigen ist:
\(0 < a_{n+1} < 1.\) Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} .\)
Idee: Über Induktion.
1. Induktionsanfang
Zuerst zeige ich, dass \(a_{n}\) für \(n=0\) gilt: \( 0<a_{n}<1.\)
Also konkret: \( 0 < a_{0} < 1 \):
Was ist aber \(a_{0} \) ? Naja, das ist bereits gegeben und ich sehe sofort dass gilt,
\( 0 < \frac{1}{2} < 1. \)
2. Induktionsvoraussetzung
Mit obigem Schritt, habe ich gezeigt, dass die Aussage für ein festets n gilt.
Und das will ich im Induktionsschritt benutzen.
3. Induktionsschluss
Jetzt muss ich zeigen dass \(0 < a_{n+1} < 1\) Für alle \(n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt.
Doch was ist \( a_{n+1} \) überhaupt ?
Naja, das ist ebenfalls gegeben: \( a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}. \)
Mit dem Schritt 1 und 2 habe ich gezeigt, dass: \(0 < a_{n} < 1 . \)
In der Definition von \(a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}\) betrachte ich den Nenner.
Weil \(a_{n}\) grösser 0 und kleiner 1 ist, kann der Nenner nur Werte im Intervall, nennen wir es, I = (1,2) annehmen und so liegt der Ausdruck \(a_{n+1}\) zwingend zwischen Null und Eins:
\( 0 < a_{n+1} < 1 .\) "qed"
Problem:
Es ist mega viel Text, aber wie hätte ich das mit weniger Text aber dafür formal und klar nachvollziehbar schreiben können ?