Kleiner Induktionsbeweis bei Folgen. Wie schreibe ich formaler statt zu viel Text zu brauchen?

Question

Gegeben ist: 

\(a_{0} = \frac{1}{2} \) und \(a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}.\)

Zu zeigen ist:

\(0 < a_{n+1} < 1.\) Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} .\)

Idee: Über Induktion. 


1. Induktionsanfang

Zuerst zeige ich, dass \(a_{n}\) für \(n=0\) gilt: \( 0<a_{n}<1.\)
Also konkret: \( 0 < a_{0} < 1 \):

Was ist aber \(a_{0}  \) ? Naja, das ist bereits gegeben und ich sehe sofort dass gilt,

\( 0 < \frac{1}{2} < 1. \)


2. Induktionsvoraussetzung 

Mit obigem Schritt, habe ich gezeigt, dass die Aussage für ein festets n gilt. 
Und das will ich im Induktionsschritt benutzen. 


3. Induktionsschluss

Jetzt muss ich zeigen dass \(0 < a_{n+1} < 1\) Für alle \(n \in \mathbb{N}_{0} \)  gilt.

Doch was ist \( a_{n+1} \) überhaupt ? 

Naja, das ist ebenfalls gegeben: \( a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}. \)

Mit dem Schritt 1 und 2 habe ich gezeigt, dass: \(0 < a_{n} < 1 . \)

In der Definition von \(a_{n+1} = \frac{1}{2-a_{n}}\) betrachte ich den Nenner. 
Weil \(a_{n}\) grösser 0 und kleiner 1 ist,  kann der Nenner nur Werte im Intervall, nennen wir es, I = (1,2) annehmen und so liegt der Ausdruck \(a_{n+1}\) zwingend zwischen Null und Eins:

   \( 0 < a_{n+1} < 1 .\) "qed" 

Problem:

Es ist mega viel Text, aber wie hätte ich das mit weniger Text aber dafür formal und  klar nachvollziehbar schreiben können ?

Answer 1

1. Induktionsanfang
für n=0 :  0<a₀<1. 0<1/2<1

2. Induktionsvoraussetzung
0<a_n<1 gilt für ein festes n.
.
3. Induktionsschluss
Zu zeigen: 0<a_n+1<1 für alle n∈N₀.
Unter der Voraussetzung: 0<a_n<1.

Oder zu zegen 0<\( \frac{1}{2-an} \) <1
Durchmultiplizieren mit 2- a_n

0<1<2- a_n

Dies gilt nach Ind.- Vorauss.
Dann muss auch 0<a_n+1<1 gegolten haben.
 

Comments

Interessant, das mit dem Ausmultiplizieren kenne ich nicht bei Ungleichungen mit zwei Zeichen...

Gilt dabei dieses Verfahren unten? 

\( 0 < \frac{1}{2-a_{n}} < 1.  \)  I Auf drei Seiten *\((2-a_{n})\)
\( 0*(2-a_{n}) < \frac{1}{2-a_{n}}*(2-a{n}) < 1*(2-a_{n}) \)
= \(0 < 1 < (2-a_{n})\)

Ja? 

Und somit ist der Nenner ..... hmmm... grösser 1. 
Und der Gesamtausdruck, kleiner 1. 

Aber wie Zeige ich so, dass die untere Grenze bzw. Infimum 0 ist.

---

Für die Umformung von Ungleichungen gelten ähnliche Regeln, wie für Gleichungen. Insbesondere darf man Ungleichungen (auch Ketten von Ungleichungen) mit einem positiven Term durchmultiplizieren, ohne dass sich an den Ungleichkeitszeichen etwas ändert. Die so gewonnene Ungleichung(skette) ist zur urspünglichen äquivalent.

Answer 2

Hallo limonade,

beispielsweise so:

Beweis (vollständige Induktion):

Behauptung: \(A(n): 0 < a_n < 1 \) \(, n \in \mathbb{N}_0\)

(IA) \( a_0 = \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < a_0 < 1 \Rightarrow A(0) \text{ wahr}\)

(IS) zu zeigen: \(A(n) \Rightarrow A(n+1)\)

nach IV: \(0 < a_n < 1 \Rightarrow  1 < 2 - a_n < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{2-a_n} < 1 \Rightarrow 0 < a_{n+1} < 1\)

*beliebige Schlussmarkierung für den Beweis*

Gruß,