Gleichung Umformen mit ln nach t

Question

wo ist hier der Fehler und warum ?

$$ \begin{aligned} 0,1 &= 40 \cdot t \cdot e^{-\frac{5}{2}t} \\ {\frac{1}{400}} &= t \cdot e^{-\frac{5}{2}t} \\ ln (\frac{1}{400})&= t \cdot (-\frac{5}{2}t)\\ -5,99 &= -\frac{5}{2}t^{2} \\ 2,396 &= t^{2} \\ 1,54 &= t  \end{aligned} $$

Hier sollte laut Taschenrechner 2,89 das Ergebnis für t sein.

Ich danke für jede Hilfe !

Answer 1

In der dritten Zeile bildest du rechts den Logarithmus nur aus einem Faktor. Das ist dein Fehler.

Comments

Die Gleichung lässt sich (bei richtiger Rechnung) gar nicht analytisch nach t umformen.

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Um das richtig verstanden zu haben, ich muss also auch ln ( t ) berechnen, richtig ?

dann ändert sich ab dann alles so:

-5,99 = 1,609 * 1 * (- 5/2*t)

-3,722= (-5/2) * t

1,48 = t

Und das ist ja auch nicht das richtige Ergebnis. Hatte auch überlegt ln (1) zu ziehen, aber das ergibt auch keinen Sinn da das 0 ergibt und der ganze Term sich somit aufhebt.

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Hier deine Rechnung bis zum Logarithmieren:$$\begin{aligned}  0.1 &= 40 \cdot t \cdot e^{-\frac{5}{2}\cdot t} \\ {\dfrac{1}{400}} &= t \cdot e^{-\frac{5}{2}\cdot t} \\ \ln \left(\frac{1}{400}\right) &= \ln(t) + \left(-\dfrac{5}{2}\cdot t\right)\\ \dots &= \dots \end{aligned}$$Jetzt geht es nicht mehr weiter.

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Warum nicht ? Hier lautet der Operator Berechne, demnach muss ich das doch algebraisch lösen können.

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Wie willst du denn ln(t) berechnen? Das ist ebenso variabel, wie t selbst. Der Wert der Variable ist aber, wenn überhaupt, erst am Schluss bekannt.

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Okay dann war das hier mein Fehler, ich habe gedacht ich kann ln(x) im Taschenrechner dafür verwenden. Also geht das nur mit dem Taschenrechner ?

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Entweder mit dem graphikfähigen Taschenrechner oder mit einem Näherungsverfahren, was aber zu viel Aufwand im Rahmen einer Klausur wäre und vielleicht auch gar nicht behandelt wurde.

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Von dem hier bereits vorgeschlagenen Newtonverfahren hab ich noch nichts gehört, also wirds wohl beim Taschenrechner bleiben. Ich danke für die Antworten!

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Die Ausgabe eines TI Nspire CX (non CAS) mit dem Befehl nSolve.

Answer 2

Hi,

der Gleichung lässt sich algebraisch nicht beikommen. Ein Näherungsverfahren wie bspw das Newtonverfahren bietet sich hier an.

Damit kommst Du auf zwei Lösungen:

\(t_{1} \approx 0,0025\)

\(t_2 \approx 2,8098\)

Comments

In welchem Lehrplan wird denn das Newton-Verfahren berücksichtigt und in welcher Abitur-Prüfung hat man für so etwas Zeit?

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Das ist eine Anwendung der Ableitung und der Tangentengleichung und kommt daher häufig in Übungsaufgaben an Gymnasien (Grundlagenfach) vor. Wird ein, zwei mal durchgerechnet und eignet sich recht gut für die mündliche Abschlussprüfung.

Da sieht und hört man schon viel, wenn man das Verfahren erklären und einen einzigen Schritt vorrechnen lässt. Es gibt auch Schüler, die in so einem Fall das Bisektionsverfahren erklären.