Lineare Abbildungen?

Question

Seien V, W zwei K-Vektorräume und WV = { f | f : V → W ist Funktion }. Wir stellen ohne
Beweis fest, dass W^v ein K-Vektorraum ist
Eine Abbildung f : V → W heißt K-linear, falls gilt:

∀ v, w ∈ V, λ ∈ K : f(v + w) = f(v) + f(w) ∧ f(λv) = λf(v).

Ich muss zeigen, dass HomK(V, W) := {f ∈ W^V f ist K-linear ein Untervektorraum des K-Vektorraumes W^V ist.

Answer 1

HomK(V, W) := {f ∈ W^V f ist K-linear}

ein Untervektorraum des K-Vektorraumes W^V ist.

Dazu genügt:

1.   Die 0-Abbildung ist dabei. Dem ist so, denn die

ist K-linear weil  0(x+y) = 0 = 0+0 = 0(x) + 0(y)  für

alle x,y aus V gilt. und für alle 
v ∈ V, λ ∈ K    0(λv) = 0 =   λ*0 = λ0(v).

2. wenn f und g aus Hom_K(V,W) sind, dann auch f+g

3. wenn x ∈ K   und   f  aus Hom_K(V,W) dann auch x*f