k-lineare Abbildungen und Untervektorraum

Question

Aufgabenstellung:Sei ϕ : A → B eine K-lineare Abbildung und U ein Untervektorraum von A. Beweisen Sie oder widerlegen Sie U = ϕ ⁻¹ (ϕ(u)) − Kern(ϕ), u ∈ U.

Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Das steht zu dem Thema im Skript, leider komme ich damit und mit googlen nicht wirklich weiter: Ein Untervektorraum U eines K-Vektorraums V ist eine nicht leere Teilmenge U ⊆ V mit der Eigenschaft v, w ∈ U ⇒ λ · v + µ · w ∈ U, ∀λ, µ ∈ K.


Vielen Dank. Ich würde gerne für mich die Aufgaben lösen, allerdings brauche ich dafür eine Lösung um zu wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Answer 1

Hallo,

es gilt:

$$f^{-1}(f(U))=\{ u+x \in A \mid u \in U, x \in Kern(f)\}$$

1. Für ein Element \(a=u+x\) aus der rechten Seite gilt:

$$f(a)=f(u+x)=f(u)+f(x)=f(u) \in F(U) \Rightarrow a \in ^{-1}f(U))$$

2. Für eine Element \(a\) aus der linken Seite gilt: Es existiert ein \(u \in U\) mit

$$f(a)=f(u) \Rightarrow f(a-u)=0 \Rightarrow a-u=x \in Kern(f)$$

Also liegt a auch in der rechten Seite

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank, könntest du mir den 1. Punkt etwas genauer erklären? Warum ist da eine 2. Klammer am Ende und ein ^-1 bei dem Elementzeichen?

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Entschuldigung, ein Dreckfehler. Es sollte heißen:

$$a \in f^{-1}(f(U))$$