Gleichung mit x^4 lösen? x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0

Question

Wie könnte man diese Gleichung per Hand lösen?
x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Answer 1

das geht mithilfe der Substitution:

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Substituiere t = x^2

t^2 - 5t + 4 = 0

löse zB mit PQ-Formel:

t₁ = 4, t₂ = 1

Rücksubstituieren:
x^2 = 4
x₁ = 2, x₂ = -2
x^2 = 1
x₃ = 1, x₄ = -1

Comments

oder mit Vieta:

z^2-5z+4=0

(z-1)(z-4)=0

...

Answer 2

x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0

Direkt faktorisieren mit Vieta geht hier auch. 1*4 = 4 und (-1) + (-4) = -5

(x^2 - 4)(x^2 -1) = 0        | 3. binomische Formel

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = 0

Lösungsmenge ablesen

L = {-2, -1, 1, 2} 

Answer 3

Substituiere x²=z, löse die quadratische Gleichung und mache die Rücksubstitution.

Answer 4

Lösung ohne Substitution:

\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)

\(x^4 - 5x^2  = -4\)

\((x^2 - 2,5)^2  = -4+6,25=2,25   | \sqrt{~~} \)

1.)\(x^2 - 2,5 = 1,5  \)

\(x₁= 2 \)    ∨     \(x₂= -2 \)

2.)\(x^2 - 2,5 = -1,5  \)

\(x₃= 1\)    ∨    \(x₄= -1 \)

Answer 5

Lösung ohne Schnickschnack:

$$\begin{aligned} x^4 - 5x^2 + 4 &= 0  \\ (x^2)^2 - (1+4)\cdot x^2 + 1\cdot 4 &= 0  \\ (x^2-1)\cdot (x^2-4) &= 0 \\ (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2) &= 0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=1 \quad&\lor\quad x=2 \end{aligned}$$ (Die Frage ist fast vier Jahre alt, hat aber irgendwie überlebt...)